椭圆型偏微分方程的有效预条件解法

基于两层有限元方法（FEM）的各种多级扩展的前置条件导致迭代方法具有相对于系统大小的最优阶计算复杂度。这些方法可以基于块矩阵分解形式，通过产生的Schur补矩阵的某些矩阵多项式近似递归扩展，也可以基于加法形式，即块对角形式，使用条件数在特定水平上的稳定性。在本调查中，关注的方法是代数多级迭代（AMLI）。它是由Axelsson和Vassilevski在[1,2]中针对各向同性椭圆问题引入并研究的，被称为AMLI。最近出版的专著[3]系统地讨论了椭圆问题鲁棒AMLI方法的进一步发展。

虽然大量的论文都在研究有限元椭圆方程组的解，但相关的时间相关问题却很少被研究。本章对椭圆和抛物问题的鲁棒AMLI方法进行了比较分析。使用了空间中Courant协调和Crouzeix-Raviart非协调线性有限元离散的统一框架。所考虑的乘法AMLI方法基于原始系统矩阵的近似块二乘分解。AMLI预条件器效率的一个关键因素是所使用的块二乘分裂的质量，由所谓的Cauchy-Bunyakowski-Schwarz（CBS）常数量化，它测量两个子空间之间的抽象角度，与矩阵的两个两个块分裂相关。所有提出的方法都会导致预条件具有谱等价界，这些谱等价界对问题和离散化参数一致成立，以及相关预条件共轭梯度（PCG）或广义共轭梯度（GCG）解算器的最优总计算复杂度。理论结果得到了数值试验的支持，重点是非协调有限元系统的情况。

研究了二乘二块线性鞍点系统的各种块预条件。所有的块预条件器都是从二乘二块矩阵的（1,1）块分裂得到的。我们分析了相应的预条件矩阵的性质，特别是它们的谱，并讨论了预条件迭代方法的计算性能。结果表明，快速收敛主要取决于（1，1）块分裂的质量。此外，还讨论了基于纯代数考虑的块预条件器的一些实现策略。因此，将我们的块预条件器应用于相关的鞍点问题，我们以“黑箱”的方式获得了预条件迭代方法。

我们讨论了PDE离散化产生的对称鞍点型问题迭代解的一类块预条件。构造块由较小规模的对称正定算子的预条件器组成，该预条件器导出一个范数，其中整个系统相对于网格大小h一致连续稳定。我们提供了特征值估计，并导出了使用块预条件的共轭残差法的收敛速度与h无关的条件。

本章的目的是讨论由偏微分方程组离散化产生的线性代数方程组预条件的一般构造方法。这里的讨论与我们的早期论文[1]紧密相关，在该论文中，我们全面回顾了基于基本微分系统的系数算子的映射特性来构造预条件子的数学理论。在下面给出的演示中，我们将重点放在具体示例上，而只给出了一般理论的概述。

许多大规模科学计算问题都需要高阶有限元，因为长时间积分需要每个时间步长的高精度，或者建模某些物理需要使用高阶有限元素。为了降低高阶有限元的成本，具有最小内存需求的健壮高效的线性求解器至关重要。这意味着需要一个健壮且高效的预处理程序。20世纪80年代，Orszag[J.Comp.Phys，37，70（1980）]表明，可以基于使用低阶有限元在更精细的网格上重新划分有限元问题而生成的矩阵来定义廉价的预处理程序。矩阵是稀疏的，其逆矩阵被证明是一个有效的预条件。

在这项工作中，我们描述了一个类似的稀疏预条件。然而，这种预条件不需要用户重新定义问题，而只需要提供对高阶单元刚度矩阵的访问。然后，预条件是用代数多重网格或任何其他稳健方法对该稀疏矩阵进行近似反演。稀疏矩阵是通过用最小二乘法生成的稀疏近似表示高阶单元刚度矩阵来构造的。最小二乘法旨在准确地表示高阶单元刚度矩阵的低阶模态。我们将结果与Orszag的方法进行了比较，在Orszag的方法中，稀疏矩阵的倒数用代数多重网格的单个V循环近似，与使用代数多重网格的单个V循环的天真方法进行了比较，在原高阶系统的基础上构建，作为预条件。

在这项工作中，我们以统一的方式对四面体划分及其细化的一些几何结果进行了综述。它们可以用于有限元法（FEM）的实际计算中的网格生成和自适应，也可以用于理论有限元（FE）分析。特别强调了有限元计算中使用的相关结果和术语与离散和计算几何（DCG）领域中建立的结果和术语之间的对应关系。

我们考虑了自适应有限元和自适应边缘元离散边值问题的局部多重网格方法，以及一类特殊鞍点问题的有限元离散的多层预处理迭代求解器。局部多重网格方法在自适应细化网格上具有局部光滑过程，并应用于线性二阶椭圆边值问题的自适应P1协调有限元离散，以及H（curl）-椭圆问题和时间调和Maxwell方程的自适应卷曲协调边元逼近。另一方面，多级预处理迭代方案的特点是将块-二对角或上块-三角预处理GMRES或BiCGStab应用于所产生的代数鞍点问题，并将预处理CG应用于相关的Schur补系统。

作为上述方法在电磁学和声学问题上的技术相关应用，我们分别考虑了石油勘探中测井-无线钻井工具的数值模拟和压电驱动表面声波的数值模拟。

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