讨论数学图论25（1-2）（2005）217-218年
内政部： https://doi.org/10.7151/dmgt.1274

边着色完备图中割集的估计

亚当·伊兹克

AkademiaŚwietokrzyska公司
波兰基尔策25-406号wietokrzyska街15号
和
计算机科学研究所
波兰科学院
波兰华沙鄂尔多斯大街21号01-237
电子邮件：adidzik@ipipan.waw.pl

这里考虑的所有图都是有限的简单图，即没有循环、多条边或定向边。对于图G=（V，E），其中V是顶点集，E是边集，我们有时用V（G）表示VE（G）代表E以避免歧义。我们将改写G∖v第页，共G页_V∖{V}=（V∖{V}，E≠2^V∖｛V｝)，的V∖{V}诱导的子图。顶点v∈v（G）称为割点如果G是连通的，而G∖v不是。由k边着色对于一个图，我们指的是它的集合的任何有限划分将边划分为k个子集。具有给定k边着色的图（V，E）（E）¹、…、E^k个)（E）^我第E类^j个= ∅对于i±j；i、 j∈{1，…，k}和ξ_{i∈{1，…，k}}E类^我=E）表示为（V、E¹、…、E^k个).图表（V、E^我)称为单色子图（V，E）的¹、…、E^k个)，i∈{1，…，k}。和往常一样，按K_米我们表示具有m个顶点的完备图。

设c（G^我)表示G的切割次数^我单色的子图G^我=（V，E^我)k边着色完备图k的_米=（V，E¹，…，E^k个)（i∈｛1，…，k｝）。

给定k边着色图G=（V，E¹，…，E^k个)，我们定义F^我=E∖E^我，G公司^我=（V，E^我),G公司^我=（V、F^我)，其中E=≠_{i∈{1，…，k}}E类^我i∈{1，…，k}。此处G^我是G的单色子图G公司 ^我它在G中的补语。

定理（Idzik、Tuza、Zhu）. 让（E¹,…，E^k个)是k的k边着色_米（k≥2，m≥4），这样所有的图G公司¹,…，G公司^k个已连接。

（i）	如果子图G之一1，…，Gk个是2连通的G公司我，然后是c(G公司我)≤m−2和c(G公司 j个)=0表示j±i（i，j∈{1，…，k}）。
（ii）	如果没有图G1,…,G公司k个是2-连接的，一个比如说G我，然后是c(G公司我) ≤2（i∈{1，…，k}）。
（iii）	如果没有图G1，…，Gk个是2-连接的，一个其中一个断开了，比如G我，然后c(G公司我)≤1（i∈{1，…，k}）。

问题。让（E¹,…,E类^k个)是k的k边着色_米（k≥2，m≥4）。以下总和的集合的基数是多少的截面G公司^我如果没有G^我是2连接的，并且（a） G的两个^我连接或（b）G中的两个^我断开连接并且c（c）(G公司^我)=1（i∈{1，…，k}）？

注意，在（a）和（b）两种情况下，所有图形G公司 ¹,…,G公司^k个已连接。

这个问题与[1]和[2]中提出的一些定理有关。

工具书类

收到日期：2003年11月21日