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讨论数学图论17（2）（1997）311-313
DOI（操作界面）： https://doi.org/10.7151/dmgt.1058
图的划分问题与图的核
1.简介
我们考虑的图是有限的、简单的和无向的。中的顶点数图G中的最长路径用τ（G）表示。对于积极的整数k1和k2图G是（τ，k1，k2)-可分割的如果存在分区{V1，V2}V（G）的比值，使得τ（G[V1]）≤k1和τ（G[V2]）≤k2.如果可以对每对正整数（k1，千2)满足k1+k个2=τ（G），我们说G为τ-可分割的.
让Hv（v）表示图H以v为根的事实。集合S⊆v（G）是一个Hv（v）-内核如果
| （i） |
没有与H同构的G[S]子图 |
| （ii） |
对于每个x∈V（G）-S，都有一个子图与H同构的G[S{x}]v（v）其根v位于x。 |
类似地，图是Hv（v）-饱和的如果它有一个子集S⊆V（G）
| （i） |
H不是G[S]的子图，并且 |
| （ii） |
对于相邻的每个x∈V（G）-S图H是G[SŞ{x}]的一个子图它的根v位于x。 |
图G称为可分解的如果它是两个图的连接。
2.问题
我们从一个问题开始，这个问题在[3]和[1]中被表述为一个猜想（另请参见[2]).
猜想1。 每个图都是τ-可分的。
在[1]中，除其他外，还证明了每个可分解图都是τ-可分的。
对于给定的（根）图Hv（v），是否每个图G都有一个H的问题v（v）-内核在[2]、[4]和[5]中进行了讨论。除其他外，还表明
| （a） |
每个图都有一个Hv（v）-核当且仅当每个图都是Hv（v）-饱和。 |
| （b） |
每个图都有一个Pv（v）-内核，其中Pv（v）是的路径阶数最多为6，v是P的端点。 |
| （c） |
每个图都有一个Sv（v）-内核，其中Sv（v）是一颗星星v是恒星的中心，或者v是恒星端点。 |
显然，如果Hv（v）是一个顶点传递图，那么每个图都有一个Hv（v）-内核（产生H的任何最大顶点集v（v）-自由图是Hv（v）-内核）。有图H的事实v（v）和G，其中G没有Hv（v）-内核如[2]和[4]所示。因此，普遍的问题是
问题。 描述根图Hv（v）每个图G都有一个Hv（v）-内核。
让路径Pv（v）n阶的根在端点处。如果每个图G都有一个P（P）v（v）-每个n的核，则猜想1为真：如果τ（G）=k1+k个2，让V1成为Qv（v）-内核，其中Qv（v）是k级的路径（以端点为根）1+1并让V2=V（G）-S.从（b）我们立即得到每个图都是（τ，k1，千2)-可分割的如果最小值{k1，千2} ≤ 5.
我们倾向于认为以下猜想对于每条路径P也是正确的v（v）以端点v为根。
猜想2。 每个图都有一个Pv（v）-内核。
工具书类
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I.Broere、M.Dorfling J.Dunbar和M.Frick，路径（逻辑）分区问题（已提交）。 |
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P.Hajnal，图分割（匈牙利语）（论文，由L。Lovász，J.A.大学，塞格德，1984年）。 |
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J.M.Laborde、C.Payan和N.H.Xuong，独立集和最长集有向图中的有向路径，in：图和其他组合主题（布拉格，1982），（《Teubner-Texte Math.》，第59卷，1983年），第173-177页。 |
| [4] |
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| [5] |
J.Vronka，具有规定属性的图的顶点集（斯洛伐克语）（论文由P.Mihók、P.J.Šafárik大学监制，科希策，1986年）。 |
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