一般确定性成分的递归调整和改进的协整秩检验

2.1假设

让观测序列根据

哪里x个t吨是一个K（K）-维度集成VAR(第页+1)过程（可能是协整的）和向量d日t吨=d日1t吨,…,d日K（K）t吨′是的确定函数t吨.

让的纠错表示x个t吨是

哪里x个0固定和创新εt吨是不相关的。什么时候？Π=0,x个t吨集成，并且，当Π拥有全军衔，x个t吨是静止的。什么时候？第页=第页一n个k个Π非零，但小于K（K），矩阵可以分解为Π=αβ′,α和β两者兼而有之K（K）×第页矩阵。表示方式A类⊥正交补码w.r.t。ℝK（K）矩阵的A类具有K（K）行和0<第页<K（K）列。以下假设确保了x个t吨I（1）具有协整秩吗第页.

创新εt吨被用来满足协整文献中的条件标准：

Granger表示定理意味着x个t吨,

其中矩阵¦Β表示为Ξ=β⊥α⊥′我K（K）负极∑j个=1第页A类j个β⊥负极1α⊥′假设2，紧接着

其中K（K）-维布朗运动B类(秒)是ΞΣε¦Β′并满足第页一n个k个 ΞΣεΞ′=第页一n个k个Ξ=K（K）负极第页.

关于模型的随机部分，假设事实上相当标准；看见约翰森（1995）和Lütkepohl(2005). 本文更多关注的是确定性组件。

让每个K（K）确定性组件d日我t吨是简单趋势函数的线性组合，所有趋势函数都相同K（K）的元素年t吨,

此外，让趋势发挥作用（f）我(⋅)为人所知。当然，系数可能在K（K）的元素年t吨; 特别是，有些可能是0，从而适应某些趋势函数特定于的某些元素的情况年t吨.

对于渐近分析，关于趋势函数行为的假设（f）(t吨)作为T型需要增长到无穷大。

极限中满秩的条件不等于趋势函数的线性独立性，因此是必需的。该假设允许例如常数（其中α1=0和τ1=1)，对于多项式趋势（其中α1=k个和τ1=秒k个)，或用于平滑过渡（其中τ包含所谓的sigmoid函数，如双曲正切）。分段线性趋势或多项式样条也包含在假设中。假设在这一点上，一个常数总是包含在确定性函数集合中：例如，如果没有非零截距，线性趋势就根本不可能成立。^[3]实际上，如果没有线性趋势，二次趋势也不可能成立，依此类推。在前面提到的包含常数之前，我们留下（not）选项对从业者来说，考虑高阶多项式趋势函数中的所有幂：该假设包括限制和不限制的情况，并允许人们在认为适合手头数据集的情况下进行递归调整。

罗德里格斯岛（2013）通过递归调整截距、趋势和中断来分析单位根测试。通过涉及常见虚拟变量的交互项，很容易处理样本中固定位置的结构断裂。根据假设3，break的行为几乎与常量相似α1=0; 和τ1=1(秒>λ)或τ1=1(秒<λ)，使用1(⋅)指示功能，用于某些（相对）中断时间0<λ<1.

在存在中断的情况下，递归调整过程实际上有一个有趣的计算方面：一些代数表明递归调整（如以下小节所述）对于趋势组件及其与虚拟变量的交互，相当于只要所有趋势组件同时出现中断，就可以分别调整中断前和中断后的子样本。这为假设3中的问题提供了一个直接的解决方案，而步骤虚拟模型定义为τ1=1(秒>λ)违反了关于∫0秒τ(第页)τ(第页)′d日第页对于秒<λ。处理该问题的另一种方法是使用定义为τ1=1(秒<λ).

该假设还意味着断裂时间已知；但这是一个似是而非的猜想，即中断时间可以直接内生化。例如，在单位根测试的上下文中，可以使用inf公司-键入统计信息齐沃特和安德鲁斯（1992）; 看见Lütkepohl、Saikkonen和Trenkler（2004）对于协整秩检验的相应讨论。^[4]

请注意，假设3并不直接涵盖季节决定论；但是泰勒（2002）和库津（2005）指出如何将季节性成分减少到相应的非季节性情况。最后，有些情况下∫0秒τ(第页)τ(第页)′d日第页不是一个合适的积分，不同的方法适用；参见命题1后的讨论。

2.2递归调整

到目前为止，文献中只考虑了递归贬低和贬低。但对一般加性趋势成分的扩展是直接的。该程序也是基于OLS的，但未知系数不是从整个样本中估计的；更确切地说，每个人都有一个估计t吨基于样本的未知趋势参数1,…,t吨然后使用它们来调整观察结果年t吨多元时间序列的递归调整被理解为逐项调整。

表示方式C类系数矩阵c（c）我我我=1,…,K（K）,我=1,…,L（左）和依据（f）(t吨)向量（f）1(t吨),…,（f）L（左）(t吨)′，一个有矩阵表示法

现在让我们将注意力转向递归调整序列的相应过程。正式来说，有T型负极L（左）+1最小二乘回归，各一个t吨=L（左）,…,T型:

给

表示方式年˜t吨递归调整序列，上面的定义为其提供了

对于t吨=L（左）,…,T型.在样品开始时，获得年˜L（左）=0; 设置年˜t吨=0也适用于t吨=1,…,L（左）负极1.

为每个样本拟合OLS回归t吨之间L（左）和T型可能比简单的OLS调整更昂贵；但简单的封闭形式表达式年˜t吨例如，在递归贬低或递归减损的情况下（参见示例3），可以使用Sherman–Morrisson公式简化C类ˆ(t吨)通过更新C类ˆ(t吨负极1).

等式[5]暗示用于t吨≥L（左）那个

也，d日˜t吨=0为所有人t吨更一般地说，递归调整与通常的OLS程序一样是线性的：

对于共形矩阵A类，因此递归调整年t吨不影响潜在的协整结构。具体来说，如果一′x个t吨是I（0）线性组合，一′x个t吨~行为渐近稳定，参见命题1，并且，作为等式的结果[6]，也会一′x个˜t吨另一方面，如果一′x个t吨是I（1）线性组合，一′x个˜t吨也是随机趋势。

2.3递归调整测试

协整性质对递归调整的不变性表明，这种调整可以与Johansen的(1995)协整秩检验。即使创新是高斯的，结果也不是LR检验，因为趋势参数没有集中在似然函数之外。

如果没有确定性，LR检验可以解释为差异的典型相关性问题Δ年t吨和滞后水平年t吨负极1（如果考虑短期动态，则进行预美白）。因此，本小节讨论了如何年t吨负极1和Δ年t吨可以针对其各自的确定性组件进行调整。

让对e（电子）c（c）τ表示具有递归调整的LR型检验统计量。要计算它，滞后水平年t吨负极1按等式处理[5]，提供递归调整的年˜t吨负极1.

确定性分量是否只包括截距，例如差分序列Δ年t吨根本不需要调整。但一般情况并非如此；此外，差分序列的确定性成分，d日t吨负极d日t吨负极1通常不同于级别的确定性组件；请参见下面的引理。

不连续点S公司对应于差异中的附加异常值。它们对这里研究的测试统计数据的影响取决于它们的大小：平均值的差异偏移是渐近可忽略的；但是，如果线性趋势的系数出现中断，而平均值没有同时移动，则不会消除不连续性，并且在通过脉冲虚拟调整差异时必须考虑到这一点。然而，这种程度的不连续性是不合理的。所以，考虑到一个常数差的情况，让我们把向量τ˙(秒)不包含零元素或“离群值”。^[5]引理的条件排除了诸如t吨第页对于0<第页<1，因为它的导数有极点；排除的原因是技术性的，因为τ可能导致在最高权力下出现不确定的形式，结果不会立即出现。

引理1清楚地表明了Δ年t吨需要进行适当的调整，但（分段）常量确定性组件的情况除外。在递归去趋势上下文中，罗德里格斯（2006）列出了三种可能的方法。两种是调整水平年t吨和滞后水平年t吨负极1分别，以及差异的样本平均值Δ年t吨从调整后的水平中减去。这相当于OLS调整差异Δ年t吨直接。第三个，由提出泰勒（2002），最终相当于使用不同的调整序列。人们还可以考虑递归地调整不同决定论的差异。无论是哪种方式，差异和滞后水平的调整程序的相互作用留下了不可忽视的条件，如下例所示。

我们选择对不同序列进行OLS调整，以确定其自身的确定成分。与其他方案相比，这有两个优点。一方面，相互作用项的复杂性得到了控制；关于限制中的后果，请参见命题3。另一方面，从技术角度来看，它使滞后增加更容易处理（t吨由于不清楚简单的滞后（例如递归调整的差异）是否会导致关键的测试统计，或者对于每个滞后差异是否需要不同的调整方案。

通过以下方式表示Δ⌣年t吨系列Δ年t吨带OLS调整，即。

哪里Δ（f）(t吨)仅包含与差异相关的确定性组件。尽管T型-一致的是，这一步确实会影响极限分布；见提案3。

在调整其特定确定性成分的水平和差异后，回归Δ⌣年t吨来自等式[7]和年˜t吨负极1来自等式[5]关于滞后z（z）⌣t吨负极1=((Δ⌣年t吨负极1)′,…,(Δ⌣年t吨负极第页)′)′获得预白残差第页0t吨和第页1t吨使用它们，可以建立常用的矩矩阵，

即的特征值S公司11负极1S公司10S公司00负极1S公司01。（跟踪）对e（电子）c（c）τ统计数据是

或者，可以使用最大特征值测试，

下一节讨论跟踪和最大特征值统计的极限行为。在此过程中，我们分析了递归调整对平稳序列（非零协整秩下的均衡误差）和非平稳序列（随机趋势）的影响。

3.1平稳性下的递归调整

让我们首先处理平稳性的情况。均衡误差序列属于这一类，在我们的模型中实际上是I（0）。可以建立以下结果来扩展So and Shin（1999）; 虽然它的公式化程度略高于要求，但在证明复杂性方面的额外成本可以忽略不计。

命题的假设允许在短记忆下通常理解的内容，因此（即使是间接的）适用于w个t吨=β′x个t吨负极1即平衡误差。但是，只要样本均值的方差消失，就可以允许偏离弱平稳性T型→∞，参见。菲利普斯（1987）; 然而，这里没有讨论这个主题，就像本小节没有讨论具有无限方差的过程一样。^[6]注意，还涵盖了具有长记忆的弱平稳过程；这将允许使用递归调整对顺序进行部分集成的过程d日，只要d日<0.5.

如果α我对某些人来说是负面的1≤我≤L（左），趋势函数（f）我(t吨)消失为T型→∞此类趋势函数通常不会影响基于数据的统计的渐近行为没有解释了这一趋势成分（另请参见示例2）。然而，在小样本中，即使这样的趋势函数也会产生差异，因此建议将其考虑在内。在这种情况下，可能无法一致地估计其系数，但仍会消除干扰趋势参数。假设3中的可逆性要求也可能对α我; 例如，如果（f）我(t吨)=t吨α我，要求α我>负极0.5.

对于以下情况（f）我(t吨)=t吨α我具有α我<负极0.5必须采用不同的方法。这是因为∫0秒τ(第页)τ(第页)′d日第页不是一个真积分。分析此类情况时应使用哪种方法取决于各自数据生成过程的特殊性。例如，假设向量（f）(t吨)具有绝对可和的元素，∑j个≥1|（f）我(j个)|<∞∀我=1,…,L（左）、和限制∑t吨≥1（f）(t吨)（f）(t吨)′为了简单起见，是非奇异的。然后，∑j个=1t吨w个j个（f）(j个)′方差一致有界。因此，C类ˆ(t吨)负极C类概率一致有界，并且C类ˆ(t吨)负极C类（f）(t吨)将按要求消失t吨→∞自从（f）(t吨)→0.

递归确定性成分在样本开始时并没有“完全”删除，这一事实并不妨碍递归调整数据的使用：例如，协方差矩阵是一致估计的，如下例所示。

3.2非平稳条件下的递推平差

在非平稳情况下，比如在共同趋势空间中工作时，调整后序列的行为会发生变化w个t吨=β⊥′x个t吨也就是说w个˜t吨和w个t吨不会渐近消失，即使在样本末尾也不会。为了使术语非平稳性更精确，我们假设适当的归一化和插值过程存在一个极限连续时间过程w个t吨有疑问。所以让我们

对一些人来说K（K）-量纲向量¦ΑT型规范化函数，以便¦ΑT型→∞作为T型→∞，其中K（K）-尺寸加工V（V）(秒)是路径可积的，并且在原点几乎肯定是连续的，林秒→0V（V）(秒)=V（V）(0)a.s.为了形成结果，定义递归调整的限制过程，

对于秒∈(0,1].减法V（V）(0)无关紧要，因为w个~t吨对于一个恒定的变化是不变的第2.1节常数总是要计算的。同时，这确保了V（V）˜τ(⋅)原产地；见命题2的证明。我们现在可以证明适当规范化过程的弱收敛性年˜t吨递归调整的过程V（V）˜τ(秒).

例如，命题的假设w个t吨是一个I（1）过程，弱收敛为多元布朗运动（可能具有奇异协方差矩阵）¦ΑT型=T型0.5,…,T型0.5′也适用于收敛到分数布朗运动（I型或II型）且具有归一化因子的I（d）过程¦ΑT型取决于分数积分参数d日.流程聚合到α-也允许稳定的Lévy运动，因此不需要w个t吨具有有限方差；自然，¦ΑT型取决于索引α在这种情况下。也包括非零起始值；关键要求是路径的连续性秒=0.

等式[6]当然也适用于非平稳情况，导致

和至

对于某些共形矩阵A类.