罗素悖论

庞加莱不喜欢皮亚诺为数学，然后被称为“逻辑”。他写道罗素的自相矛盾，“物流终于证明它不是无菌的。它终于诞生了——矛盾。"
来自R.Hersh，什么是数学，真的吗？
牛津大学出版社，1997

集合由其唯一属性定义元素。人们可能不会提及套和元素同时，但有一个概念没有其他意义。广泛使用的皮亚诺符号

A＝｛x:x具有属性P｝

包含了所有相关属性：集合a、属性P、元素x。当然，还有一个并不总是使用正式的符号。例如，谈论场景是可以接受的在东不伦瑞克高中的所有学生中，或者我用手指打这个句子。空间由于受到限制，本页上描述了一些集合，而有些则没有。让我们打电话罗素一套本页中描述的所有集合。只需强调这一点：罗素的元素在这里进行了描述第页。请注意，这个页面就是您遇到罗素的地方。因为它毕竟是定义它的地方。所以russell有作为自身元素的有趣特性：罗素∈罗素.

以russell为例，很明显，一些集合包含自己作为元素，而另一些则不包含。让RUSSELL代表不是自己元素的所有集合的集合。关于RUSSELL可以说些什么？是哪一个？

假设RUSSEL∈RUSSELL导致矛盾因为，根据定义，RUSSELL不包含自身。假设RUSSEL∉RUSSEL意味着RUSSELL满足定义，因此，RUSSEL∈RUSSEL。不可能。

RUSSELL是这样一个集合，即既不是RUSSELL∈RUSSELI也不是RUSSEL∉RUSSEL1901年被伯特兰·罗素（1872-1970）发现。这是他在他的自传:

四旬斋期结束时，我和艾利斯回到费姆赫斯特，在那里我开始写作数学的逻辑推导，后来变成普林西米亚数学软件我原以为工作快完成了，但在五月份，我有一个智力上的挫折几乎和我2月份的情绪上的挫折一样严重。康托有一个证据证明没有最大的数字，在我看来世界上所有的事情都应该是最大可能的。因此，我检查了他的用一些细微的证据，并努力将其应用于所有事物的类别是。这让我考虑了那些不是自己成员的班级，并问此类类的类是否是其自身的成员。我找到了两个答案暗示了它的矛盾性。起初我认为我应该能够克服很容易发生矛盾，这可能是推理中的一些小错误。然而，渐渐地，情况变得明朗起来，事实并非如此。Burali-Forti已经发现了一个类似的矛盾，逻辑分析表明与古希腊关于克里特人埃皮门尼德斯的矛盾的亲和力，他说克里特人是骗子。可以创造出与埃皮门尼德斯基本相似的矛盾给一个人一张纸，上面写着：“这篇论文是假的那个人把纸翻过来，在另一边发现：“本文另一面的说法是正确的这似乎不值得一个成年人花他把时间花在这些琐事上，但我该怎么办呢？有点不对劲，因为在一般情况下，矛盾是不可避免的。不管是否琐碎，这件事是挑战。在1901年下半年，我认为解决方案很容易，但到了那一次结束时，我认为这是一项艰巨的任务。因此，我决定结束数学原理搁置解决方案。在秋天艾利斯我回到了剑桥，因为我被邀请就数学逻辑。这些讲座包含了数学原理, 但没有任何处理矛盾的方法。

数学原理罗素和阿尔弗雷德·诺斯·怀特黑德写的那本书通过开发类型理论排除了罗素的悖论。看看第362页数学原理Russell和Whitehead最终证明了1+1=2。

在这种情况下，还有一些事情需要提及。我将退出讨论目前为止。在解决了RUSSELL∈RUSSELL与否的问题后，我可能会回到这一页。（当然，罗素？罗素。）同时，你可以考虑一个关于所有集合的集合RuSSeLL的问题不如本页所述。RuSSeLL∈RuSSeLL是真的吗？

这可能不太明显，但罗素悖论只是对角线论点.

参考

W.Dunham，数学世界，John Wiley&Sons，纽约，1994年。
M.加德纳，啊哈！明白了。困惑与喜悦的悖论，弗里曼公司，纽约，1982年
D.R.Hofstadter，超魔法主题，Basic Books，Inc.，1985年，第16章。
J.A.Paulos，超越数字，复古图书，1992年
鲁迪·拉克，无限与心灵，普林斯顿大学出版社，新泽西州普林斯顿，1955年

自我参照和表面自我参照

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