毕达哥拉斯定理
关于相似性论证的阐述
欧几里德提供了两个证明勾股定理:I.47段和六、 31个前者，可能是因为它是第一本书的性质，也包括在元素到目前为止，大家都知道。（例如，著名数学历史学家弗洛里安·卡乔里（Florian Cajori）认为(美国数学月刊第6页，第3页，1899年，第72-73）I.47页，写给欧几里德本人，但根本没有提到VI.31。）几个世纪以来许多证据被发明（并重新发明），在简洁性或清晰度上与I.47竞争。然而，鲜为人知的VI.31在自然美和相关性方面首屈一指。
毕达哥拉斯定理涉及三对相应的相似形状。一对中的第一个组件是直角三角形，第二个可以是任何形状。它在I.47中是一个正方形，在VI.31中是一个任意多边形。施加在第二个组件上的唯一约束是，其形状是固定的，并且以某种方式与第一个组件的形状相关联，从而在相似变换：如果通用直角三角形表示为T，S是相关形状，那么对于任何相似变换，S’=f（S）形状与T’=f（T）。
成对（T，S）中两个形状之间的对应关系可能看起来很松散，尽管它仍然足够强大，具有非平凡的含义。例如，我们可以声称，对于定义为第一个组件相似的所有形状对，一对中的面积比率是相同的。的确，如果T和T’=f（T）是相似的三角形，那么面积（T）=k·面积（T'），对一些人来说k>0，这是相似性f的一个属性。如果是这样，我们也有面积（S）=k·面积（S'），系数k相同。从这里开始，
| (1) | 面积（S）/面积（T）=面积（S'）/面积， |
如所述。该声明是两个相似性观点等价的结果，即缩放和形状保持，并在中进行了讨论另一个上下文. The六、 31个处理三个相似的三角形，T，T'和T'，使得
T=T’
T“，
而T’和T’不重叠，因此
勾股定理现在是这样一句话的结果：(1),
面积（S）=m·面积（T），
面积（S'）=m·面积（T'）和
面积（S’’）=m·面积（T’’），
对于一些m>0，这样(2)容易暗示
这就是勾股定理，如果S被选为三角形T斜边上的正方形！
亚历山大·吉文塔尔(美国数学月刊，v 113，n 3，pp 261-265）提供了上述参数的幼儿园版本，如下面的小程序所示：
三只小猪建造了三只类似的根据房子的大小（以及一个独特的蓝图：每栋房子都由一个客厅和一个阁楼组成）。两个较小的阁楼正好与第三个阁楼相吻合（尤其是这要求阁楼是直角三角形）。这三个起居室比三个阁楼大，因此两个较小的起居室加起来就是第三个。
斯图亚特·安德森独立地提出了以下论点
从中的插图开始证明#7.在位于AB侧的图形上的某处放置一个点E，同样将F和G放置在位于BC和CA的图形上。考虑以下3个图形：在AB侧，图形AEBD，即三角形ABD和位于AB边三角形外部的图形。在BC和CA侧，类似的图形BFCA和CGAD。这三个图形符合欧几里德对“相似且描述相似的图形”的定义，因此我们可以将《元素》第五册中的命题应用于它们。（说明这些命题的数字显示了线段，但欧几里德明确表示，这些命题适用于任何类型的量级，无论是长度、面积还是体积。）
因此，根据相似性
ABD:AEBD:：BCA:BFCA:：CAD:CGAD，以及
AEB:AEBD:：BFC:BFCA:：CGA:CGAD，
其中震级为面积。
由提案V.16，以及通用概念1,
ABD:AEB:：BCA:BFC:：CAD:CGA。
但ABD和CAD等于BCA；因此，AEB和CGA等于BFC。
Q.E.D.公司。
这是“完全欧几里德”写证明的方式。简而言之，“显然”每个外部图形都与连接在同一侧的内部三角形成比例。由于两个较小的内部三角形分解得越大，所以两个较小的外部图形分解得越大。
或者，如果不想调用第五卷中的命题与区域一起使用，可以使用命题六、 19个和六、 20个以表明外部图形和内部三角形都是边长的重复比例，因此彼此成比例。其余的证据没有变化。然而，我认为直接论证面积是成比例的更清晰，而不是从面积比到长度比再回到面积比，所以我更喜欢我的第一个版本。
作为旁注，我的版本和欧几里得的原始版本的证明#7都有一些共同点，解剖证明没有这些共同点：它们清楚地说明了为什么证明需要直角。当然，这是因为只有一个直角三角形可以分解成两个较小的副本，这两个副本与原始副本相似。平铺打样也说明了为什么直角是必要的：只有直角才能配合在一起形成打样所需的平面平铺。
通过解剖证明，直角的原因有时被模糊了，并且不清楚（没有一些外部知识）为什么相同的构造不能用于某些非直角三角形。
塞尔维亚的弗拉德米尔·尼科林（Vladmir Nikolin）似乎找到了一个中间点——在将相似性应用于线性维度的同时增加了区域：
设D是直角三角形ABC从C开始的高度脚，A'是直角三角形BCD从D开始的高度脚部，B'是直角三角ACD从D起的高度。如果A'D=A'， B’D=A’C=B’和CD=c'我们有：
面积（ABC）=面积（ACD）+面积（BCD），因此
| | c·c’/2 | =a·a’/2+b·b’/2 |
| (4) | c·c’ | =a·a’+b·b’ |
不难看出三角形ABC和CDA'是相似的，因此，对于一些k>0：
通过（4）中的替换，我们得到：
c·kc=a·ka+b·kb
最后c²=a²+b²。
北卡罗来纳大学哲学系的马克·兰格（Marc Lange）提请我注意毕达哥拉斯定理的证明，它是物理科学中的一个应用维度推理这与上面的推导非常接近。我引用了[A.B.Migdal’s的话量子理论中的定性方法，第2页]
“在某些情况下，量纲技术实际上使人能够获得定量结果，而不仅仅是定性结果。例如，我们可以纯粹从量纲考虑来证明毕达哥拉斯定理。通过量纲推理，三角形ABC的面积只能取决于斜边的平方c²乘以some角α的函数f（α）。这同样适用于两个相似三角形ABD和BCD的面积，但对于这两个三角形，斜边分别是大三角形的边AB和BC。因此
从而证明了这个定理。"
函数f（α）的性质对求导是无关紧要的，因为实际上它依赖于角度α。与开篇论点完全一样，只要注意直角三角形的面积与斜边的平方成正比，比例系数为形状属性，直角三角形的形状完全由锐角之一决定。由于这个原因，我认为引用的对证明的处理有些令人困惑：很难说三角形ABC的属性成立，然后加上“三角形ABD和BCD也是一样的”。甚至引入函数f来表示单个三角形的面积也是相当有问题的。断言应该是，带有斜边的（ny）直角三角形的面积，例如u和锐角α之一，是通过量纲推理得到的，即u²f（α），在图中三角形ABC、ABD和BCD的特殊情况下，这导致
c²f（α）=a²f
从而证明了这个定理。
（最近的珀金斯夫人的电动被子保罗。J.Nahin）
在他开始的时候书曼弗雷德·施罗德（Manfred Schroeder）讲述了阿尔伯特·爱因斯坦（Albert Einstein）发现这一证据的迷人故事：
当雅各布·爱因斯坦（Jacob Einstein）向他11岁的侄子阿尔伯特（Albert）教授（欧几里德）几何学时，年轻的爱因斯坦（即使当时正努力追求极简）也觉得欧几里得的一些证明不必要地复杂。例如，在毕达哥拉斯定理的典型证明中a²+b²=c²，这真的是强制性的吗除了带有斜边、c和边a和b的基本直角三角形之外，还有那些额外的直线、角和正方形？
经过“一点思考”，这个聪明的年轻人想出了一个证明，只需要一条额外的线，即斜边上方的高度。此高度将大三角形划分为两个彼此相似且与大三角形相似的较小三角形。（如果三角形的角度相同，则它们是相似的，这很容易看出。）
现在，在欧几里德几何中，两个相似（闭合）图形的面积比等于广场对应的比率线性的尺寸。因此，区域E一，Eb条、和Ec（c），（E与德语中的相同乙烯)三个三角形中的一个与斜边a、b和c有关，公式如下：
| (4) | E类一=ma² |
| (5) | E类b条=毫巴² |
| (6) | E类c（c）=mc² |
其中m是无量纲非零乘数，在所有三个方程中都相同。
现在再看一下这个配置，就会发现大三角形的面积当然是两个较小三角形的面积之和，
或者通过等式（4）至（6），
用常用的度量m来划分这个身份，很快就会产生毕达哥拉斯著名的结果
一位11岁的老人在这里证明了这一点，他将两个丰富的科学原理结合起来，这两个原理将对成年的爱因斯坦很有帮助：简单性和对称性，其中自相似性是一个特例。然而，爱因斯坦证明的真正美并不在于它如此简单，而在于它揭示了毕达哥拉斯定理的真正本质：相似性和标度。
方程（6）与爱因斯坦后来的发现相似，爱因斯坦著名的E=mc²，当然，这完全是偶然的。质量m和能量的等效性E、 它是以各种形式的核能为基础的，是洛伦兹不变性的结果。这种不变性是狭义相对论的基础，是爱因斯坦在1905年预测的，似乎是在几次错误的开始和“更多的思考”之后。
施罗德声称“这是来自特拉维夫魏兹曼研究所的施奈尔·利夫森的故事，爱因斯坦的助手恩斯特·施特劳斯也曾向他讲述过这个故事。”
我可以自豪地为这个故事添加一个我自己的故事。Sam Zbarsky，我在其他地方给出了一个问题：在直角三角形中，高度被画到斜边。其中一个小三角形的周长为2，而给定三角形的周长为10。找出第二个小三角形的周长。山姆想出了以下解决方案。
这三个三角形很相似。三角形的面积是其周长的平方比，例如，100:4:X。但小三角形的面积构成了大三角形的面积：4+X=100，给X=96。所以三角形的周长是√96= 4√6.
工具书类
- M.Schroeder，分形、混沌、幂律W.H.Freeman and Co，1991年
（V.16） 如果四个量值成比例，它们也将交替成比例。
（用通俗易懂的语言来说：A/B=C/D意味着A/C=B/D，请参阅Pi的性质.)
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