欧几里得I.47中图形的特性

随附的基本图表欧几里得I.47几个世纪以来自然会引起人们的持久兴趣。

图的一些属性及其泛化已经过描述，请参见新娘的椅子。在这里，我将列出最近引起我注意的其他一些属性。

设U表示AK和CD的交点，V表示CE和BF的交点。设C（ABDE）是围绕正方形ABDE外接的圆。然后U和V都位于该圆上。（解决方案位于单独的页面.)
AC²+CD²=BC²+CE²。

这源于上一个属性和余弦定律设U为AK和CD的交点，V为CE和BF的交点。根据三角形ACD和BCE的余弦定律，我们得到：

AD² =AC²+CD²-2 CV·CD

比利时² =BC²+CE²-2 CU·CE

由于AD=BE，为了证明属性，我们只需要证明CV·CD=CU·CE。但是，根据前面的属性，点U和V位于正方形ABDE的外接圆上。CV·CD=CU·CE然后是相交割线定理.
DK²=AC²+4 BC²。

在ΔCDK和ΔACD中应用余弦定律：

丹麦² =CK²+CD²-2 CV·CD

AD² =AC²+CD²-2 CV·CD。

第一个数减去第二个数

丹麦² =CK²+AD²-AC²

=2BC²+2AB²-AC²

=2BC²+2（AC²+BC²）-AC²

=AC²+4 BC²。
DK²+EF²=5 AB²。

假设DK²=AC²+4 BC²，根据对称性，我们还得到EF²=BC²+4 AC²。根据勾股定理，将两者相加得到所需的结果。
A和B中位数平方和的四倍等于5AB²。

我们知道m的长度_一、A的中位数和m_b条，B的中位数，可以找到从

米_一² =（b²+c²）/2-a²/4，

米_b条² =（a²+c²）/2-b²/4。

将两者相加

米_一²+米_b条² =c²+（a²+b²）/4

=c²·5/4。
让AK和BC在X相交，BF和AC在Y相交。然后CX=塞浦路斯此外，如果CXZY是正方形，则Z位于AB上。

证据出现在单独的页面.
DK²+GH²+EF²=3（AB²+1BC²+AC²）[练习第736页]。

这是DK²+EF²=5 AB²和GH=AB。
面积（EDKHGF）=2（AC²+AC·BC+BC²）。

所有四个三角形ABC、BDK、CGH、AFE具有相同的面积AC·BC/2。索赔紧接着从勾股定理.

工具书类

F.G.-M.公司。，Géométrie演习，Éditions Jacques Gabay，第六届，1991年
H.S.Hall、F.H.Stevens、，供学校使用的欧几里得元素课本，麦克米兰公司，1904年

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	丹麦²	=CK²+AD²-AC²
		=2BC²+2AB²-AC²
		=2BC²+2（AC²+BC²）-AC²
		=AC²+4 BC²。

	米_一²	=（b²+c²）/2-a²/4，
	米_b条²	=（a²+c²）/2-b²/4。

	AD²	=AC²+CD²-2 CV·CD
	比利时²	=BC²+CE²-2 CU·CE

	丹麦²	=CK²+CD²-2 CV·CD
	AD²	=AC²+CD²-2 CV·CD。

	米_一²+米_b条²	=c²+（a²+b²）/4
		=c²·5/4。