原始毕达哥拉斯三元组下的三叉树
========== 基金会 ========== 我早就知道这一点： 设（a，b，c）是毕达哥拉斯三元组 一 2 +b条 2 =c 2 a、 b，c>0 如下参数化a、b、c a=q+m m，n，q>0 b=q+n c=q+m+n 替代 （q+m） 2 +（q+n） 2 =（q+m+n） 2 展开、取消常用术语并取平方根 q=平方（2*m*n） 因此，勾股三元组可以通过找到m，n来生成 这样2*m*n就是一个完美的正方形。 以下观察结果无需证明： *如果m，n是相对素数，那么毕达哥拉斯 Triple也将是相对最好的。 这是 被称为原始毕达哥拉斯三元组，或PPT。 *q总是均匀的。 *在PPT中，m或n必须是偶数，另一个必须是奇数 对于a和b也是如此。 *q大于m或n或两者都大于 *q小于m+n 反向方程很容易推导： m=c-b n=c-a q=a+b-c ======================== 看，他们成对出现 ======================== 这是一个新的转折点： 传统上，q被假定为正根。 然而 如果你改为选择负数根，那就是一个不同的毕达哥拉斯式 三元组由a或b或两者都为负数组成。 丢弃 符号表示你有一个非常好的毕达哥拉斯三元组。 因此，m和n的每个有效组合都会产生两个Triples。 再一次， 如果m和n是相对素数，那么这两个三元组中的a、b和c都是素数。 其中一个三元组将具有所有正项，而在另一个三元组中 a或b为负数。 c总是有相同的符号， 假定为正，但不失一般性。 PPT中的奇偶模式将相同。 签名的原始毕达哥拉斯三元组将被称为SPPT。 例如： 设m=25，n=8 q=平方（2*25*8）=20 a=q+m=45 a'=-q+m=5 b=q+n=28 b'=-q+n=-12 c=q+m+n=53 c'=-q+m+n=13 PPT为（45,28,53），SPPT为（5，-12,13），其中 对应于（5，12，13）的PPT。 SPPT的c'值始终小于c值 PPT的。 ================= 树木构造 ================= 三元树的建造是基于观察 PPT和SPPT总是成对出现，每个有效的PPT都可以 只需更改符号即可生成三个且只有三个SPPT 在a和b上。 以（3,4,5）作为根节点开始，称为“P”。 建立值表： A B C M N Q Q“A”B“C” === === === === === === === === === === PPT 3 4 5 1 2-2-1 0 1（稍后） SPPT-3 4 5 1 8-4 4 5 12 13页 SPPT 3-4 5 9 2-6 6 15 8 17 PPT SPPT-3-4 5 9 8-12 12 21 20 29 PPT 现在可以从表中读取三个子节点： 它们是（5,12,13）、（15,8,17）和（21,20,29），称为P1、P2和P3 分别是。 对每个子节点重复此过程，以构建与树一样大的树 随你所愿。 例如： A B C M N Q Q“A”B“C” === === === === === === === === === === 第5 12 13 1 8 4-4-3 4 5页SPPT SPPT-5 12 13 1 18-6 6 7 24 25 PPT SPPT 5-12 13 25 8-20 20 45 28 53 PPT SPPT-5-12 13 25 18-30 30 55 48 73 PPT 请注意，当 标志从PPT中删除。 此外，标志图案将 告诉我哪根树枝被拿走了。 当你构建树时，你会注意到c总是 从根开始遍历时增加，这是 PPT在堆排序意义上是“准排序”的。 ================================== 树的自根性 ================================== 有趣的事情发生在（3,4,5）的表面父元素（1,0,1）上。 由于其中一个值为零，因此只有一个符号变量 节点而不是通常的三个。 A B C M N Q Q“A”B“C” === === === === === === === === === === ~PPT 1 0 1 1 0 0 0 1 0 1~PPT ~ SPPT-1 0 1 1 2-2 2 3 4 5 PPT 类似地，该树将导致所有a为奇数b为偶数的PPT （0,1,1）将导致所有的PPT，其中a是偶数，b是奇数。 ========================== 剪裁中卫 ========================== 现在将相同的技术应用于一般节点。 再一次， 假设a、b、c、m、n、q>0 A B C M N Q Q“A”B“C” === === === === === === === === === === PPT a b c m n q-q a0 b0 c0 SPPT（点击） SPPT-a b c m1 n1 q1-q1 a1 b1 c1 PPT SPPT a-b c m2 n2 q2-q2 a2 b2 c2 PPT SPPT-a-b c m3 n3 q3-q3 a3 b3 c3 PPT 处理第一个子级显示： m1=c-b m2=c-（-a）=c+a q1=（-a）+b-c（始终<0） a1=-q1+m1=（a-b+c）+（c-b）=a-2*b+2*c b1=-q1+n1=（a-b+c）+（c+a）=2*a-b+2*c c1=-q1+m1+n1=（a-b+c）+（c-b）+（c+a） =2*a-2*b+3*c 将这些方程转化为矩阵形式： （a1 b1 c1）=（a b c）（1 2 2）=（b c）*T1 ( -2 -1 -2 ) ( 2 2 3 ) 类似计算得出： （a2b2c2）=（abc）（-1-2-2）=（ab c）*T2 ( 2 1 2 ) ( 2 2 3 ) （a3 b3 c3）=（a b c）（1 2 2）=（b c）*T3 ( 2 1 2 ) ( 2 2 3 ) （a0 b0 c0）=（a b c）（-1-2-2）=（b c）*T0 ( -2 -1 -2 ) ( 2 2 3 ) 这是一个显著的结果。 这意味着任何毕达哥拉斯人 Triple可以通过矩阵生成三个新的Triple 用T1、T2和T3与较大c的乘法，可以 用矩阵生成较小的c三元组的有符号版本 与T0相乘。 如果三元组是PPT，那么孩子 节点将是PPT，T0转换将产生SPPT 对应于父级。 ================= 播放PPT ================= 三叉树完全覆盖了整套PPT 独特地。 独特的部分是由 树。 每个节点只有一个唯一的SPPT“mnq-twin”，并且 因此只有一个父母。 完整的部分需要矛盾的证明。 假设你 有一个没有被树跨越的PPT。 它仍然有一个 “mnq-twin”SPPT，c较小 数字将形成另一个PPT。 这个PPT也不能出现在树上，否则原来的PPT就会出现， 等等。由于c是递减的，并且以零为界， 此序列必须以不同于 （1,0,1）或（0,1,1）。 因为一切都是相对最好的这两个 是q=0的唯一两个三元组，因为q=0表示m=0或 n=0（记住q=sqr（2*m*n））。 ================================ 线性代数形式的MNQ孪晶 ================================ 吨 ------------------------------------> （a b c）----->（m n q）-----> 发票U4 P 发票价格=（0-1 1）U4=（1 0 0）P=（1 1 0 1） ( -1 0 1 ) ( 0 1 0 ) ( 0 1 1 ) ( 1 1 -1 ) ( 0 0 -1 ) ( 1 1 1 ) U4*U4=I T=发票价格*U4*P=（-1-2-2） ( -2 -1 -2 ) ( 2 2 3 ) 注：T*T=I 证明：T*T=内视图*U4*P*内视图*U4*P=内视图*U4*U4*P =发票价格*P=I 因此，T变换将找到任何三元组的“mnq-twin”。 ======================================== 线性代数形式的树构造 ======================================== 父母------------------------>子女 签名变体MNQ-Twin PPT SPPT PPT （a b c）----->（a‘b’c）-------->（a“b”c） U型 我 T i=1,2,3 U1=（-1 0 0）U2=（10 0）U3=（-1 00） ( 0 1 0 ) ( 0 -1 0 ) ( 0 -1 0 ) ( 0 0 1 ) ( 0 0 1 ) ( 0 0 1 ) T1=U1*T=（1 2 2） ( -2 -1 -2 ) ( 2 2 3 ) T2和T3的乘积与前一结果相同 部分。 ================================ 特征向量与自根性 ================================ T的特征向量也很有趣。 T的特征方程为 -x个 三 +x 2 +x-1=0 它生成1、1和-1的根。 因为有一个 特征向量需要两个参数。 一组相应的特征向量为： （s1，s2，s1+s2）和（s3，s3，s2） 因为（1,1,1）在相乘时永远不会是毕达哥拉斯三元组 任何长度（除了零值）都可以丢弃。 将毕达哥拉斯约束应用于第一类向量： （s1） 2 +（s2） 2 =（s1+s2） 2 第1页 2 +s2秒 2 =s1 2 +2*s1*s2+s2 2 0=2*s1*s2 因此，s1=0或s2=0或两者兼而有之。 两者又是微不足道的 溶液，可以丢弃。 这就留下了两个向量： （s1，0，s1）和（0，s2，s2），它们减少到（1，0，1） 引入相对素性时的（0，1，1）。 这正是导致 所有奇数/偶数/奇数和偶数/奇数PPT。 ==================== 一个有趣的转折 ==================== 反转T的前两行具有交换的效果 a和b的奇偶模式 使（1 0 1）成为（0 1 1）的父级，反之亦然。 所以相反 两棵独立的自根树，你会得到一种“暹罗” 树在顶部连接，层在偶数/奇数之间交替 奇偶三元组。 该矩阵的特征值为-1、-1和1，其中 特征向量： （s1，s2，（s1+s2）/2）和（1,1,2） 对这些应用毕达哥拉斯约束并没有显示 可能的解决方案。 因此，没有其他 基于该矩阵的自根树。
公式的证明 高斯整数的范数 高斯整数 勾股三元组的可除性 原始毕达哥拉斯三元组下的三叉树 毕达哥拉斯三元组与完美数