勾股定理的机械证明

这个勾股定理可以说是数学中最基本的结果之一，其证明可能比任何其他定理都要多。令人满意的是，这个定理潜伏在许多机械现象中，如下所示。显然，它不只在一种意义上应该被指定为基本的.

想象一个以直角三角形为底的直角三角形棱镜[马克·列维，第10页，和另一次讨论]. 让三角形的腿一,b条和斜边c（c）想象一下，棱镜装满了水，安装在一个垂直的主轴上，位于底三角形的锐角之一。棱镜可以围绕主轴自由旋转。会吗？

答案自然是否定的。一个棱镜放在它自己的设备上，它不会以任何方式移动并保持静止。这意味着作用在棱镜上的力会以某种方式平衡。除了由主轴阻力平衡的垂直引力外，作用在棱镜上的其他力是什么？

水从内部推动棱镜的每个侧面。推力与侧面的面积成正比，因为它们都是高度相同的矩形，所以与长度成正比。每侧的力产生一个扭矩(动量)好像它集中在重心，也就是侧面的中心。腿上的力矩把棱镜拉向一个方向，斜边上的力矩拉向另一个方向。扭矩平衡。每个都是到轴的距离乘以施加的力的乘积。因此，a×a/2+b×b/2=c×c/2，或

a²+b²=c²。

（关于基于运动物体面积不变性的数学框架，请参见单独的页面）

现在考虑材料点C，它可以在直径为AB、中心为O的刚性半圆上无摩擦滑动[马克·列维第21-23页]。想象两个相同的弹簧将C连接到点A和B，并假设弹簧满足胡克定律：F=κx，其中x是弹簧的伸长率，κ胡克常数和F弹簧的张力，即它在两端施加的力。将弹簧拉伸至长度x所需的平均力为κx/2，所做的功是距离和力的乘积：W（x）=κx²/2。这也是拉伸到长度x的弹簧的势能。

回到我们的配置，我们声称C点位于平衡在半圆上的任何位置。事实上，由于径向力不能使其沿圆周移动，因此足以证明两个弹簧施加的张力的切线分量是平衡的。

设M和N是A和B在C处圆切线上的投影。CM和CN的长度与切线上两个力的投影成比例。但是CM=中国因为它们被夹在AM、CO和BN三个平行线之间（记住坐标（mm）同样），而通过构造AO＝BO。

因此，对于C的任何位置，两个弹簧的势能都是相同的。特别是对于具有AC=b和BC=a， P（x）=κ（a²+b²）/2。对于其中一个端点的位置，P（0）=κ（0²+c²）/2，其中c是半圆的直径：c=AB。由此可见a²+b²=c²。

如果一个质量冰球m=1被推到无摩擦冰上以获得速度a，其动能为a²/2[马克·列维，第25页]。如果它被垂直方向推动并获得速度b，其动能将为b²/2。一方面，连续执行推球动作将为冰球提供动能a²/2+b²/2。另一方面，冰球将获得速度c，它在几何上是带有边a和边b的矩形的对角线。其动能为c²/2，我们完成了。

（还有一个机械防护也雇佣了Heron公式）

工具书类

1. M.Levi，数学力学，普林斯顿大学出版社，2009年

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