带圆的分区3-空间

这真是一个令人惊讶的问题。有可能用圆来划分这个空间吗？换言之，3空间是否可能是不相交圆的并集？

现在，在几何学中，由于反转，通常可以方便地将直线视为中心位于无穷大的无限半径圆。如果我们允许这样的解释，那么任务就很容易了。我们可以把三维视为所有平面的结合z=常数平行于xy平面。每一个平面都是圆的联合x²+y²=r²以所有可能半径的平面原点为中心r>0，还有一个点-原点本身。这些点填充z轴；如果后者被认为是一个特殊的圆圈，我们就完了。

经过再三考虑，前面的结构提出了另一种解决方案。如果我们接受点是半径为0的圆，我们会得到一个更简单的划分。每个平面z=常数被分割成圆和一个点。

平面也可以划分为圆和两点的并集。任何同轴家庭不相交的圆就可以了。也许还有其他方法可以使这个问题变得微不足道。有一个非平凡的解决方案吗？也就是说，是否存在这样一种将三维空间划分为非零有限半径的圆的方法？

令人惊讶的是答案是肯定的作为线索，平面和球体有很多共同点。特别是，一个球体，像一个平面，可以分割成一个由圆和两点组成的并集。事实上，这两点可以任意选择。比如说，它们不一定是极点。

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解决方案

一个优雅的解决方案基于下图。

用圆划分三维空间

选择任意测量单位，首先在xy平面中绘制整数网格。接下来画半径为1的（黑色）圆，圆心位于这些点（x，0），哪里x=1（模块4）。每个以原点为中心的球体（橙色圆圈是这些球体通过xy-plane的横截面）正好在两个点上与黑色圆圈的并集相交（参见图表）。如前所述，如果不考虑这两个点，每个球体都可以划分成圆。

工具书类

P.Winkler，数学难题：鉴赏家的收藏，A K Peters，2004年

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