点和分数
这是一个非常简单的问题，我无法立即找到解决方案。事实上，我试过好几种方法后才勉强采用一种奏效了。在几次尝试失败后，我问了自己一个问题，这个问题以前曾多次对我有帮助：我使用了所有数据吗？
问题是由Irina Khmelnitskaya向我提出的，她是Gelfand的数学拓展课程Irina提到Gelfand本人也没有马上解决这个问题。因此，激励。
单位间隔$[0，1]\；$分为13美元红点等分，17美元蓝点等分，$30\；$用橙色圆点表示等分。命名最短的打开按端点颜色细分的间隔。证明橙色间隔不能包含超过$1；$另一种颜色的点：红色或蓝色。
（如果选中“链接”框，黄点的数量将自动设置为红点和蓝点的数量之和。否则，黄点数量可以单独设置。）
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让我们把红点和蓝点统称为品红点。相反，假设两个品红色点位于黄色间隔内。由于黄色间隔比红色或蓝色间隔短，因此两个品红色点必须具有不同的颜色：一个是红色，另一个是蓝色。为了明确起见，假设点$\displaystyle\frac{a}{13}\；$和$\显示样式\frac{b}{17}\；$位于间隔$\displaystyle\left（\frac{c}{30}，\frac}c+1}{30{right）\；$内。然后中位数$\显示样式\压裂{a+b}{13+17}=\压裂{a+b}}{30}\；$位于$\displaystyle\frac{a}{13}\；$之间和$\显示样式\frac{b}{17}，\；$即在间隔$\displaystyle\left（\frac{c}{30}，\frac}c+1}{30{right）\；$内，这是不可能的。矛盾。
显然，这个问题可以推广到任意细分为$m\；$红色，$n\；$蓝色和$m+n\；$黄色间隔，长度为$m\；$和$n\；$是互质.
上述证明是一种反证法的证明。它的直接模拟是由W.McWorter提出的。
考虑红色、蓝色和黄色点的组合序列。一个红点可以紧接着另一个红点子吗？不，在两个连续的红点之间一定有一个黄点。这是因为黄色间隔比红色间隔短。
出于同样的原因，蓝点不能跟在另一个蓝点后面。它能跟在红点后面吗？反之亦然？不，这也是不可能的。红色圆点和蓝色圆点（黄色圆点）的中间点总是挤在中间。
现在，我们刚刚看到，在洋红色和黄色点的组合序列中，任何两个洋红色点总是由至少一个黄色点隔开。有$m+n\；$洋红色圆点和$m+n-1\；$内部没有洋红色圆点的开放洋红色间隔。不计算$0\；$处的终端点和$1，\；$正好有$m+n-1；$黄色圆点。因此可以得出正好是$1\；$黄点落在每个洋红色间隔中。换句话说，洋红色和黄色圆点相互交错。因此，每个黄色间隔（不包括终端间隔：最左边的端点位于$0\；$，最右边的端点位于$1）\；$正好包含$1\；$洋红色圆点。
McWorter教授也考虑了一个概括
$m+n有什么神圣之处让$m\；$和$n\；$互素，设$x\；$是一个正整数。将单位间隔分为$m\；$用红点等分，将单位间隔除以$n\；$用蓝点等分，并将单位间隔除以$x\；$用黄色圆点表示等分。如果$x\lt m+n\；$，然后，通过鸽子洞原理，一些连续的黄色点对之间至少包含两个品红色点。另一方面，如果$x\gt mn\；$，那么，没有连续的黄色圆点在它们之间包含一个以上的品红色圆点，因为最接近的两个品红色点可能是$\displaystyle\frac{1}{mn}，\；$大于$\displaystyle\frac{1}{x}$
案例$x=m+n\；$已经讨论过了。那么$x\；$怎么样大于$m+n\；$但少于或等于$mn$
我所能做的就是显示每$x\；$格式为$x=my+nz\；$，其中$y\；$和$z\；$是正整数，在连续的黄色圆点之间最多有一个品红色圆点。因此，在某种意义上，$m+n\；$不是神圣的，因为所有$x\；$在另一种意义上，$x=m+n\；$是神圣的，因为它是唯一的$x\；$连续的黄色圆点之间正好有一个品红色圆点（除了第一对和最后一对之间没有品红色圆点子的连续圆点），或者更不重要的是$m+n；$是神圣的，因为$x=m+n\；$是最小的$x\；$这是可行的。
这个泛化的证明与已经讨论过的案例略有不同。假设点$\displaystyle\frac{a}{m}\；$和$\displaystyle\frac｛b｝｛n｝\；$位于黄色间隔中。在形成中间点之前，请注意$\displaystyle\frac{a}{m}=\frac{ay}{my}\；$和$\displaystyle\frac{b}{n}=\frac{bz}{nz}\；$。现在，中间值$\displaystyle\frac{ay+bz}{my+nz}=\frac{ay+bz}{x}\；$是手边黄色间隔内的一个黄色点。矛盾。
对页面开头的小程序的实验很容易发现，McWorter的条件（$x=my+nz\；$）已经足够了，但对于每个黄色间隔中最多有一个洋红色的点来说并不是必需的。然而，正如下面的示例所示，它不能完全省略。
设$m=8，\；$$n=7，\；$$x=27.\；$显然，27美元不能以$27=8y+7z\；$的形式书写带正$y\；$和$z.\；$现在，由于$\displaystyle\frac{3}{27}\lt\frac{1}{8}\lt\frac{1}}{7}\lt/frac{4}{27{；$，两个洋红色圆点$\显示样式\左（\frac{1}{8}\；\text{和}\；\frac{1}}{7}\右）\；$落在黄色间隔$\displaystyle\left（\frac{3}{27}，\frac}4}{27{right）内。\$
这是相同结果的另一个证明。
设$\显示样式r=\frac{m}{n}\；$和$\显示样式s=\ frac{n}{m}，\；$其中$m\；$和$n\；$是互质的。考虑两个有理数序列
$\{i（r+1）：\；0\lti\}\；$和$\{i（s+1）：\；0\lti\}$
在这两个序列中，$m+n\；$是第一个整数。这是因为，正如我们假设的那样，$m\；$和$n\；$是互质的。从这里开始，$m+n\；$和$n\；$也是互质$\显示样式\ frac{i（m+n）}{n}\；$对于$i\gen；$只能是整数第二个序列也是如此。出于同样的原因，这两个序列在$m+n以下没有公共元素。\$
设$N\lt（m+N）\；$是一个整数。有$\displaystyle\left\lfloor\frac{N}{r+1}\right\rfloor\；$$N.\；$以下第一个序列的项$（\lfloor x\rfloor$是$x，\；$的整个部分（楼层功能）即不超过$x的最大整数）\$
类似地，有$\displaystyle\left\lfloor\frac{N}{s+1}\right\rfloor\；$N下第二个序列的项。由于$\显示样式\压裂{N}{r+1}\；$或$\displaystyle\frac{N}{s+1}\；$是一个整数，我们有两对不等式：
(*)
$\displaystyle\frac{N}{r+1}-1\lt\left\lfloor\frac{N}}{r+1}\right\rfloor\lt\frac{N}{r+1}，\；$和
$\displaystyle\frac{N}{s+1}-1\lt\left\lfloor\frac{N}}{s+1}\right\rfloor\lt\frac{N}{s+1}$
现在请注意
$\显示样式\frac{1}{r+1}+\frac{1}}{s+1}=\frac{n}{m+n}+\frac{m}{m＋n}=1$
考虑到这一点，让我们总结一下不等式（*）：
$\显示样式N-2\lt\left\lfloor\frac{N}{r+1}\right\rfloor+\left\floor\frac{N}}{s+1}\rift\rfloor \lt N$
由于这里涉及的所有量都是整数，我们可以声明一个恒等式
$\displaystyle\left\lfloor\frac{N}{r+1}\right\rfloor+\left\floor\frac{N}}{s+1}\reight\rfloor=N-1$
也就是说这两个序列的总和正好是$N-1$N.\；$以下的元素对于任何整数$N\lt（m+N）\；$都是如此。如果$N\；$使得$N+1\lt（m+N）\；$，那么正好有$N\；$小于$N+1$的两个序列的项。换句话说，从$N\；$传递至$N+1\；$我们只添加$1；$两个序列的并集中的项。后者只是意味着，在它们之间，两个序列正好有$1；$$N\；$之间的元素和$N+1\；$。
要完成验证，请缩放间隔$[1，m+n]\；$单位间隔$[0，1]\；$。
（该证据是1927年证据的改编A.Ostrowski和A.C.Eitken关于互补序列的陈述。我们在分析时遇到了一对这样的序列威瑟夫的游戏。如果两个递增序列的并集涵盖了整组正整数，并且每个整数恰好属于其中一个序列，则这两个序列是互补的。）
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