一个简单的积分

问题是计算以下积分

\（显示样式\int_{0}^{2\pi}\mbox{sin}^{2}（x）dx.）

有一个方式根本不用计算积分就能找到这个积分。好吧，差不多了。

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计算以下积分

\（显示样式\int_{0}^{2\pi}\mbox{sin}^{2}（x）dx.）

首先，请注意

\（\displaystyle\int_{0}^{2\pi}\mbox{sin}^{2}（x）dx=\int_{0}^{1\pi}\nmbox{cos}^{2}（x）dx.）

因此，将两者相加，并使用众所周知的恒等式，我们得到它们的和等于2π。特别地，

\（\displaystyle\int_｛0｝^｛2 \pi｝\box｛sin｝^｛2｝（x）dx=\pi.\）

这解决了问题。然而，不需要额外的努力就可以获得几个积分。对于其中一个，上面的第二个积分也是π。现在，由于sin²（x）的周期实际上是π，我们很容易得到另一个积分

\（显示样式\int_{0}^{\pi}\mbox{sin}^{2}（x）dx=\pi/2.）

最后，考虑到（mbox{sin}），（mbox}sin}（pi-x）=mbox{正弦}（x））的对称性，我们还得到

\（\显示样式\int_{0}^{\pi/2}\mbox{sin}^{2}（x）dx=\pi/4。\）

轻率地说，每次我们把积分间隔减半，积分也就减半了。会吗下一次我们会得到一个等于八分之一的积分，对吗？

同样，考虑以下积分：

\（显示样式I=\int_{0}^{\pi/2}\frac{\mbox{sin}^{25}

当\（x\）从\（0\）到\（\pi/2\）时，被积函数\（f（x）\）所取的值与\（f（\pi/2-x）\）在相同间隔上所取的值完全相同，只是它们是以相反的顺序生成的。因此，这两个函数的积分相等：

\（显示样式I=J=\int_{0}^{\pi/2}\frac{\mbox{sin}^{25}（\pi/2-x x{sin}^{25}（x）}dx\）

总结一下，

\（显示样式I+J=\int_{0}^{\pi/2}1dx.）

因为（I=J），所以（I=pi/4）。指数（25）与此有什么关系？没有什么！因为，被积函数是偶数更通用的框架到目前为止。

一些金额也可以在不进行任何计算的情况下找到。

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