跳棋中的一个问题

派遣侦察兵进入沙漠

每个人都知道跳棋游戏中的蛙跳。在平面的格点上跳棋有一个有趣的问题。一开始是把一些人安排在起跑区，起跑区由起跑区上方和下方的格子点的半平面组成x-轴。目的是让一个人尽可能地超越x-轴线通过格子线方向的跳转（不允许对角跳转）。你可以把这看作是派遣侦察兵进入敌人的领土（沙漠）。问题是确定起始区内允许一名侦察员达到规定渗透深度的最少人数。

下面是一个Java小程序，可以帮助您解决问题。沙漠位于水平线之上。你的军队位于下面。X和Y决定军队的规模。水平是你的目标——你计划在沙漠中走多远。在进一步阅读之前，先尝试解决几个第一级问题。

（要移动，请单击要移动的芯片，然后单击无关的新位置。）

此小程序需要Sun的Java VM 2，您的浏览器可能会将其视为弹出窗口。事实并非如此。如果您想看到小程序的工作，请访问Sun的网站：https://www.java.com/en/download/index.jsp，下载并安装Java VM并使用小程序。

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如果applet不运行怎么办？

我们立即看到，只需要两个人就可以达到x-轴（即直线年= 1). （见图1。）
很明显，四个人就可以达到二级。（见图2。）
为了达到第三级，必须从八个人开始：我们使用四个人如前所述，将一名男子置于二级，然后再使用另外四名男子完成工作。
按照这种速度，人们预计达到四级所需的人数将为2⁴= 16. 令人惊讶的是，这需要20分钟。经过12次移动后，我们获得刚才描述的达到三级的8人配置。从那以后配置从一开始就高出一个单位，它能让一个人达到四级。

主要问题是第五级的情况。上述案例使用了2、4、8、，以及20名男性。你认为需要多少人才能达到五级？难以置信的是答案是，无论有多少人，任何安排都不足以达到五级！证据并不难，人们几乎无法不被这种令人愉悦的力量所触动数学在这个巧妙的应用中表现出来。这是约翰·康威的发现，剑桥大学。

我们首先注意到，如果一个人能够到达水平面上的特定晶格点P第五，一个人可以从左边或左边的起始位置做同样的事情右边，到达第五层的任何指定格点。这是全部或全部第五级。我们通过证明任意但确定的格点P来解决这个问题第五层是不可接近的。

我们通过给每个格点赋值，将数学引入到这种情况中在飞机上。每个值都是数字的幂x，该数字应为很快指定。幂的指数就是单位步数平行于从识别点P到有问题的格点。因此，P本身具有价值x⁰或1；这个与P相邻的四个格点的值为x，八个格点P的两个步骤有值吗x²等等。因此和格点列被指定为连续幂的序列x（见图3）

一组人的值被认为是位置值的总和被男人占据了。我们现在调查一组男性的价值变化跳棋引起的。

有三种跳跃方式：一种是让人（i）离P更近，（ii）离P更远P、（iii）与P的距离相同。在每次跳跃中，我们从两个相邻的点开始最后，这些地方空无一人，第三个点被占领了。在（i）类的每次移动中（参见图4），我们获得一个值x^n个同时失去两个更高的权力xⁿ⁺¹和xⁿ⁺². 相应地，变化如下所示

x^n个-（x）ⁿ⁺¹+x个ⁿ⁺²)=x^n个（1-x-x²）

对于类型（ii）的移动，我们获得值的变化xⁿ⁺²-（x）ⁿ⁺¹+x个^n个)=x^n个（x²-x-1）. 现在是时候指定数字了x。我们选择x这样类型（i）的跳转的值就不会发生变化。为此，我们需要

1-x-x²= 0.

因此x= (-1 ±√5) / 2. 拿x成为正根，(√5- 1) / 2,我们得到一个介于0和1之间的值。事实上，x是名人的倒数黄金分割线出现在许多不同的环境中。请注意x²= 1 -x对于类型（ii）的移动，那么，我们可以看到值的变化是

x^n个（x²-x-1）=x^n个（1-x-x-1）=x^n个（-2x）<0.

那么，在第（ii）类移动之后，剩余男性的价值小于移动之前男性的价值。因为类型（iii）的移动仅仅是跨越穿过P的两条格子线中的一条，所以我们可以看到类型（iii）的移动也会降低一组人的价值：x^n个-（x）^n-1个+x个^n个)=-x^n-1个.总之，每跳一次，要么保持一组人的价值不变，要么使其减少；在任何情况下，价值都不会增加。

一个人在P点的值本身就是1。因此，一组能够将一个人送到P点的人必须从值至少为1开始。如果一个集合的值小于1，则需要增加它的值才能将一个人置于P，而这不能通过跳棋来实现。现在，通过考虑柱中的点，很容易确定构成起始区域的整个半平面的值。P正下方的列提供了这些值x⁵+x个⁶+x个⁷...，一个带和的几何级数x⁵/（1-x）（回想一下0<x<1). 这两个柱子，在这个“中央”柱子的两侧各有一个

x⁶+x个⁷+x个⁸+ ... = x⁶/（1-x），共2个x⁶/（1-x）

类似地，有两列x⁷+x个⁸+x个⁹...，共2个x⁷/（1-x）。总而言之，无穷多列的总计为

S=x⁵/（1-x）+2（x）⁶+x个⁷+ ...)/（1-x）,

后一个括号是一个几何级数。评估系列并使用1-x=x²，我们获得

S公司 =x⁵/（1-x）+2x⁶/（1-x）²

=x^三+2 x²

=x（x²+2x）

=x（1-x+2x）

=x（1+x）

=x+x²

=x+1-x

=1.

因此，即使在起始区域中只有一个空闲位置，也意味着起始集有一个值<1这太小了，不能把一个人送到五级。

(一个建议：如果从末尾开始，并且逆转动作.)

工具书类

J.Havil，非加号！普林斯顿大学出版社，2007年
Ross Honsberger，数学宝石II，MAA，1976年
E.R.Berlekamp、J.H.Conway、R.K.Guy、，数学游戏的获胜方式，v II，p715，学术出版社，1982年。
M.Aigner，带着斐波那契进入沙漠,数学杂志，第70版，第1期，1997年2月，第11-21页。

斐波那契数

几何中的黄金比例

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71885624

S公司	=x⁵/（1-x）+2x⁶/（1-x）²
	=x^三+2 x²
	=x（x²+2x）
	=x（1-x+2x）
	=x（1+x）
	=x+x²
	=x+1-x
	=1.