关于平均数的恒等式
给定整数的除数

让我从两个定义开始。给定一个序列N>0数字一₁，一个₂, ..., 一_N个，我们定义了一个算术平均值或平均的已定义

A（A）₁，一个₂, ..., 一_N个)=（a）₁+一个₂+ ... + 一_N个)/N个

如果数字都不为0，我们还定义它们的调和平均值通过

H（a）型₁，一个₂,...,一_N个)=无（1/a₁+每年1次₂+ ... + 每年1次_N个)

假设有一个整数M，我们可以考虑M的所有可能的除数，包括1和M本身。我们不知道有多少。然而，对于给定的M，我们可以考虑除数集的算术平均值和调和平均值。我表示它们A_M（M）和H_M（M）分别是。计算这两者的任务，尤其是调和平均值，可能看起来很艰巨。因此，拥有以下内容更有趣

定理

M=A_M（M）·H（H）_M（M）.

M=6有四个除数：1、2、3和6。一个₆= (1 + 2 + 3 + 6)/4 = 3.另一方面，

H（H）₆= 4/(1/1 + 1/2 + 1/3 + 1/6) = 4/(6/6 + 3/6 + 2/6 + 1/6) = 24/12 = 2.

因此，我们确实有6=3.2。
M=8还有四个除数：1、2、4和8。

一个₈= (1 + 2 + 4 + 8)/4 = 15/4.
H（H）₈= 4/(1/1 + 1/2 + 1/4 + 1/8) = 4/(8/8 + 4/8 + 2/8 + 1/8) = 32/15.

最后，15/4·32/15=32/4=8。

这里的重点是要认识到一个数字的除数成对出现：d除以M敌我识别存在一个整数c，使得M/d=c。这也可以写成

（1）

1/d=c/M

现在，让我们将M的所有除数都列为d₁，天₂,... 我们知道这一点每d_我存在一个c_我这样的话d日_我·c（c）_我=M对于所有i。请注意c_我根据定义，也是M的除数。此外，作为d_我范围覆盖M的所有除数集，c也是如此_我.让D_M（M）表示M的除数。从（1）我们得到

H（H）_M（M）=D_M（M）/（1/d）₁+1天₂+ ...) = D类_M（M）/（c）₁/M+c公司₂/M+…）=M/A公司_M（M）.

也就是说M=A_M（M）·H（H）_M（M）.

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