所有自然数之和

格里戈伊尔·尼科利尔
瑞士西部应用科学大学
2014年12月3日。

让我们把发散级数$s=1+2+3+4+\cdots$当作一个普通数来处理。通过将以下总和的所有括号中的相应项分组，可以得到

\开始{等式*}\开始{拆分}-12秒=&\；s-4s+2s-8s+s-4s\\=&\;（1+2+3+4+5+\cdot）-4\cdot（0+1+0+2+0+3+\cdots）\\&+2\cdot（0+1+2+3+4+\cdot）-8\cdot（0+0+1+0+2+0+\cdots）\\&+（0+0+1+2+3+\cdots）-4\cdot（0+0+0+1+0+2+0+\cdots）\\=&\;1\end{split}\end{equation*}

在另一种情况下，这个错误的结果是“正确的”。通过定义$$\zeta（-m）=-2^{-m}\pi^{-m-1}\\sin\left（\frac{m\pi}{2}\right）\m，对于每个实数$p>1$，由$\ze塔（p）=\displaystyle\sum{n=1}^\infty n^{-p}$给出的Riemann zeta函数可以自然地扩展到负整数$-m$\泽塔（m+1）.$当$m=1$时，由于$\zeta（2）=\pi^2/6$，因此$\zeta=（-1）=-1/12$，但$\ze塔（-1）$不再是$p=-1$的$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty n^{-p}$之和，它实际上是$1+2+3+4+\cdots$。

（可以在单独的页面.)

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