简单积分III

问题是在脸书上共享乔治·阿波斯托洛波洛斯（George Apostolopoulos）和梅赫迈特·阿欣（Mehmetöahin）解决了（解决方案1）。Amit Itagi提供了解决方案2，N.N.Talleb解决方案3。随后，丹·西塔鲁（Dan Sitaru）提交了问题作者优雅地提出的问题修正案。

简单积分，几乎没有微积分

有一个方式找到这个积分，而根本不用计算积分。好吧，差不多了。

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评估积分

$\显示样式\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\ln（\tan（x）+1）dx$

解决方案1

让我们进行替换，例如$x=\displaystyle\frac{\pi}{4} -吨。\，$然后$dx=-dt\，$和

$\显示样式\开始{align}I&=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\ln（\tan（x）+1）dx\\&=\int_{\frac{\pi}{4}}^{0}\ln\left（\tan\left{4} -吨\右）+1\右）（-dt）\\&=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\ln\left（\frac{1-\tan（t）}{1+\tan（t）}+1\right）dt\\&=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\ln\left（\frac{2}{1+tan（t）}\right）dt\\&=\int_｛0｝^｛\frac｛\pi｝｛4｝｝\ln 2dt-\int_｛0｝^｛\frac｛\pi｝｛4｝｝\ln（1+\tan（t））dt\\&=\frac{\pi}{4}\ln（2）-I，\结束{对齐}$

这意味着$\displaystyle 2I=\frac{\pi}{4}\ln（2），\，$或$\disposystyle I=\frac{\pi{8}\ln$

解决方案2

$\开始{align}\ln（1+\tan x）&=ln（\sin x+\cos x）-\ln（\cos x）\\\非数字&=\ln\left[\sqrt{2}\cos\left（\frac{\pi}{4} -x个\right）\right]-\ln（\cosx）\\&=\frac{\ln2}{2}+\ln\left[\cos\left（\frac}\pi}{4} -x个\右）\right]-\ln（\cos x）\结束{对齐}$

$\开始{align}\int_0^{\pi/4}\ln（1+\tanx）dx&=frac{\pi}{8}\ln2+\int_0^}\pi/4{\ln\left[\cos\left（\frac{\pi}{4} -x个\右）\右]dx-\int_0^{\pi/4}\ln（\cosx）dx\\&=\frac{\pi}{8}\ln2-\int_{\pi/4}^{0}\ln（\cos x）dx-\int_0^{\pi/4}\ln（\cosx）dx\\&=\frac｛\pi｝｛8｝\ln 2+\int_0^｛\pi/4｝\ln（\cos x）dx-\int_0^{\pi/4}\ln（\cosx）dx\\&=\frac{\pi}{8}\ln 2\结束{对齐}$

解决方案3

通过替换$=\tan（x），\$

$\displaystyle\int_{0}^{frac{\pi}{4}}\log（\tan（x）+1）dx=\int_{0}^{1}\frac{\ log（u+1）}{u^2+1}$

我们再次替换：$\displaystyle v=\frac{1-u}{1+u}：$

$\显示样式\开始{align}\int_{0}^{1}\frac{\log（u+1）}{^2+1}&=\int_{0}^{1}\frac{\log（2）-\log\\&=[\arctan（v）\log（2）]^{1}_{0}-\int_0^1\frac{\log（v+1）}{v^2+1}dv\\&=\frac{1}{4}\pi\log（2）-\int_0^1\log（v+1）{c^2+1}dv\结束{对齐}$

接下来是$\displaystyle\int_0^1\log（v+1）{c^2+1}dv=\frac{1}{4}\pi\log（2）$。

修正案

如果$a，b\in\displaystyle\left（0，\frac{\pi}{4}\right），$和$a+b=\displaytyle\frac{\ pi}{4]，$则计算积分

$\显示样式\int_{a}^{b}\ln（\tan（x）+1）dx$

解决方案

进行替换$x=a+b-t=\displaystyle\frac{\pi}{4}。\，$然后$x'（t）=-1\，$$x（a）=b，\，$和$x（b）=a\，$，因此

$\显示样式\开始{align}I&=\int_{a}^{\frac{\pi}{4} b条}\ln（tan（x）+1）dx\\&=｛int_｛a｝^｛\frac｛\pi｝{4} b条}\ln（\tan\left（\frac{\pi}{4} -吨\右）+1）（-1）dx\\&=\int_{a}^{b}\ln\left（1+\frac{1-\tant}{1+\tant}\right）dt\\&=\int_｛a｝^｛b｝\ln\left（\frac｛1+\tan t+1-\tan t｝｛1+\tan t｝\right）dt\\&=\int_{a}^{b}\ln\left（\frac{2}{1+\tant}\right）dt\\&=\ln 2\int_{a}^{b} 日期-\int{a}^{b}（1+tanx）dx。\结束{对齐}$

因此，$2I=（b-a）\ln 2，\，$即$\显示样式i=\ frac{b-a}{2}\ln 2$

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