为什么素数不能是有限的？

这是菲利普·赛达克论文的一个简短版本，关于素数无穷大的欧几里德定理的注记(马提亚·贝利大学学报，系列数学，第24卷（2016），59 60）。如本文所示，任何有限个素数都不能生成整个自然数集。因此，对标题中的问题的简短回答是“他们不会足够多！”

我们从几何角度研究因式分解，并将标准表示视为二维（指数上）的操作，其中单素数幂表示我们称之为“垂直”维，其乘积为“水平”维。

垂直尺寸

对于一个固定素数$p，\，$和$0\le i\le m，\，$，有$m+1\，$个正整数可以写成$p^i，\，$，其中最大的是$p^m。\，$因为很明显，$m+1\le（1+1）^m=2^m\le p^m，\，$很多整数都不是这种形式；因此，对于这些幂的比例$\nabla（p^m），$（高达$p^m

(1)

$\displaystyle\frac{m+1}{p^m}\gt\frac{m+2}{pp^{m+1}}\Longleftrightarrow1-\frac}{m+2}\gt\ frac{1}{p}$

因此，从纵向来看，比例是单调递减的。

水平尺寸

回想一下，函数$f:\，\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{C}\，$被称为乘法函数，如果$f（1）=1\，$和$f（ab）=f（a）f（b），\，$代表所有函数互质$a，b\in\mathbb{N}.\，$比例$\nabla，$的一个至关重要的性质是其乘法性。对于所有$k\ge 2，\，$，让我们定义

$\displaystyle\nabla（p_1^{m_1}\cdots p_k^{m_k}）：=\frac{\#\{n=p_1^}\cdot p_k_{a_k}:\，0\le a_j\le m_j，\text{代表}\，1\le j\le k\}}{p_1^{m_1{$

那么，对于指数$mj的所有排列，我们有

(2)

换句话说，$\nabla\，$的多重性意味着水平单调性。

将这两个单调的正交趋势结合起来就足以证明素数的无穷性。这是因为垂直维度（通常）是无限的，并且（1）意味着由给定素数幂表示的整数的稀疏性不断增加；而从（2）的单调性性质可以看出，对于此类幂的任何有限合成，情况都是一样的，因此只有无限水平维才可能补偿不断增长的赤字，并创建由唯一因式分解定理保证的$mathbb{N}，$的完全覆盖。

素数的无穷大

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