九点生成的点

迈克尔·戈登伯格（Michael Goldenberg）和马克·卡普兰（Mark Kaplan）提出了以下吸引人的问题，他们的解决方案由美国数学月刊，v 117（2010），第281页。这个问题对我的吸引力是双重的。总之，公式和解以一种非常直接的方式依赖于几个——我甚至可以说，依赖于过多的——众所周知的定理，因此，解看起来明显比公式短。The editors of The每月发现有必要观察大多数求解者进行分析。一些解算器简化了使用复数或行列式进行代数运算。一些人用枫树帮忙.

让A₀，A₁、和A₂是非等边三角形T的顶点。设G和H分别是T的形心和正交中心。处理模3的所有指数，设B_k个是A的中点_k-1号机组一个_{k+1（千分之一）}，设C_k个是从A开始的高度的英尺_k个，并让D_k个是A的中点_k个H。

这个九点圆T是穿过所有B的圆_k个，C_k个、和D_k个现在我们再引入九个点，每个点都是通过两条线相交获得的。（交点不在指定直线的两点之间。）设P_k个是B的交点_k-1号机组C类_{k+1（千分之一）}和B_{k+1（千分之一）}C类_k-1号机组、Q_k个C的交点_k-1号机组D类_{k+1（千分之一）}和C_{k+1（千分之一）}D类_k-1号机组，和R_k个C的交点_k-1号机组C类_{k+1（千分之一）}和D_k-1号机组D类_{k+1（千分之一）}.

让e成为穿过{P的线₀，P₁，P₂}f是穿过的线｛Q｝₀、Q₁、Q₂}.（签字人帕斯卡定理，这三个点是共线的。）让g成为直线{右₀，右₁，右₂};通过Desargues定理，这些点也是共线的。

（a）证明线e是T的欧拉线。
（b）证明g与f重合。
（c）证明f垂直于e。
（d）证明e和f的交点S是H相对于九点圆的倒数。

解决方案

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让A₀，A₁、和A₂是非等边三角形T的顶点。设G和H分别是T的形心和正交中心。处理模3的所有指数，设B_k个是A的中点_k-1号机组一个_{k+1（千分之一）}，让C_k个是从A开始的高度的英尺_k个，并让D_k个是A的中点_k个H。

T的九点圆是穿过所有B的圆_k个，C_k个、和D_k个现在我们再引入九个点，每个点都是通过两条线相交获得的。（交点不在指定直线的两点之间。）设P_k个是B的交点_k-1号机组C类_{k+1（千分之一）}和B_{k+1（千分之一）}C类_k-1号机组、Q_k个C的交点_k-1号机组D类_{k+1（千分之一）}和C_{k+1（千分之一）}D类_k-1号机组，和R_k个C的交点_k-1号机组C类_{k+1（千分之一）}和D_k-1号机组D类_{k+1（千分之一）}.

让e成为穿过{P的线₀，P₁，P₂}f是穿过的线{问₀、Q₁、Q₂}.（签字人帕斯卡定理，这三个点是共线的。）让g是通过的线{右₀，右₁，右₂};通过Desargues定理，这些点也是共线的。

（a）证明线e是T的欧拉线。
（b）证明g与f重合。
（c）证明f垂直于e。
（d）证明e和f的交点S是H相对于九点圆的倒数。

解决方案

（a）设k，m，n按一定顺序为1，2，3。应用帕普斯定理至B点_米，C_米，A_n个在线A上_k个一个_n个至B点_n个，C_n个，A_米在线路A上_k个一个_米，我们得到了三分P_k个、G和H，定义如下P（P）_k个=B_米C类_n个●B类_n个C类_米， G=A_米B类_米●A型_n个B类_n个，和H=A_米C类_米●A型_n个C类_n个，共线。所以所有P_k个位于欧拉线GH上。

（b）设N是九点圆。考虑一下循环四边形C类_米C类_n个D类_米D类_n个。因为H=C_米D类_米●C_n个D类_n个，问_k个=C_米D类_n个●C_n个D类_米，和R（右）_k个=C_米C类_n个微米D_米D类_n个，我们得出结论指向Q_k个和R_k个位于极地的H相对于N。所以f和g重合。

（c）根据的定义极地的，我们有NHf或eíf。

（d）这也遵循了极坐标的定义。

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