消极的椰子

这是一个古老的问题——可能有1000多年的历史了。化身很多；一些出现在了文学作品中。这就是如何本·艾姆斯·威廉姆斯（1889-1953）讲述了这个故事：

五名男子和一只猴子在一个荒岛上遭遇海难，他们第一天就采集椰子作为食物。把它们堆在一起，然后睡了一夜。

但是当他们都睡着的时候，一个人醒了，他想早上可能会有一场关于分椰子的争吵，所以他决定分一份。于是他把椰子分成五堆。他把剩下的一个椰子给了猴子，他把一堆椰子藏起来，把剩下的放回原处。

不久，下一个男人醒了过来，做了同样的事。他还剩下一只，把它给了猴子。五个人都做了同样的事，一个接一个；当他醒来时，每个人都拿走了堆里的五分之一的椰子，每个人还剩下一个给猴子吃。第二天早上，他们把剩下的椰子分成五等份。当然，每个人都知道椰子不见了；但每个人都像其他人一样有罪，所以他们什么也没说。一开始有多少椰子？

解决方案

工具书类

  1. B.A.威廉姆斯，椰子在C.Fadiman中，数学喜鹊哥白尼，1997，196-214

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五名男子和一只猴子在一个荒岛上遭遇海难，他们第一天就采集椰子作为食物。把它们堆在一起，然后睡了一夜。

但是当他们都睡着的时候，一个人醒了，他想早上可能会有一场关于分椰子的争吵，所以他决定分一份。于是他把椰子分成五堆。他把剩下的一个椰子给了猴子，他把一堆椰子藏起来，把剩下的放回原处。

不久，下一个男人醒了过来，做了同样的事。他还剩下一只，把它给了猴子。五个人都做了同样的事情，一个接一个；每个人醒来后都会拿走堆里的五分之一椰子，每个人都有一个留给猴子。第二天早上，他们把剩下的椰子分成五等份。当然，每个人都知道椰子不见了；但每个人都像其他人一样有罪，所以他们什么也没说。一开始有多少椰子？

解决方案

马丁·加德纳注意到威廉姆斯修改了古代变体，使其更加混乱。修改与早上发生的事情有关。在最初的问题中，在第六次分区后的第二天早上，一个椰子还剩下，被递给了猴子。他还观察到，威廉姆斯没有提到任何数字数据，比如上一师每个人收到了多少椰子。事实上，这个问题有无穷多个解；加德纳建议找出最小的。他从老问题开始。

假设N是研究员睡觉前收集的椰子总数，第一个醒来的人拿走了A椰子，其中N=5A+1，剩下一堆4A个椰子。用连续的字母表示其他人所取的部分，我们得到了一个包含7个未知数的6个方程的系统：

N=5A+1，
4A=5B+1，
4B=5C+1，
4C=5D+1，
4D=5E+1，
4E=5F+1。

通过消除中间未知数，N和F之间存在直接联系：

1024牛顿=15625华氏+11529。

这是一个很难用整数求解的方程。加德纳找到了一个美丽而简短的解决方案，这要归功于保罗·狄拉克。然而，狄拉克将加德纳介绍给了著名哲学家的侄子J.H.C.怀特海，怀特海也拒绝承认作者身份。所以，没有人知道这个解决方案的来源。

解决方案从以下观察开始：（N，F）解方程，然后这对也解（N+15625，F+1024），反之亦然。特别是，如果方程有整数解，那么它必然也有负整数解。令人惊讶的是，接受数量为负数的椰子并通过高雅的洞察力培养，人们获得了一个简单的解决方案。

两个观察结果发挥了关键作用。首先，人们需要意识到，猴子什么时候收到椰子并不重要——在分割椰子堆之前或之后。第二，更具洞察力的是N=-4非常适合问题的情况。事实上，面对-4个椰子，第一艘沉船向猴子扔去了1个椰子（阳性），留下了一堆-5个椰子。其中，他取-1，剩下-4，这正是他最初的数字。（这反映了以下事实：y=5x+1有解决方案(-1, -4).)

现在很明显，其他5个赛区的结果都是一样的。所以，最后，F=-1N可以取-4。为使其为正数，我们添加15625，并获得N=15621作为旧问题的最小解决方案。

加德纳发现了一个模式：如果有n个人，猴子在每个分区都会收到m个椰子，那么椰子的原始数量必须是N=节n+1-m（n-1），其中k是任意参数。（使用m=1， n=5， k=1， N=15621）。

对于威廉的问题，加德纳给出了如下解决方案N=55- 4 = 3121.想法是一样的。对于前五个步骤，如前所述进行；随后的桩尺寸将变为

3121 → 2496 → 1996 → 1596 → 1276 → 1020.

幸运的是，1020可以被5整除，这样就可以进行晨间除法。

备注

求解线性丢番图方程有一个简单的程序，可以应用于求解1024牛顿=15625华氏+11529。重新收集欧几里德算法的推广对于给定的a和b，x和y是这样的ax+by=gcd（a，b）。如果存在模b的乘法逆，则可以使用该过程来求其乘法逆。对于a=1024和b=15625，gcd=1，因此方程1024x≠1（修改15625）是可解的，即。，x=10849。模15625我明白

1024×10849 N=11529×10849=125078121≡15621（15625模），或
N≡15621（15625版），

确认15621是最小解决方案。

对于William的问题，1024N=15625F+8404，因此

N≡8404×10849=91174996≡3121（15625版），

如预期。

工具书类

  1. M.加德纳，数学巨著，W.W.Norton&Co，2001，第1章：猴子和椰子


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