素数的无穷大
通过谐波系列

这是众所周知的调和级数发散。我们可以通过删除所有分母可被2整除的项来对其进行一些细化。剩下的是奇数整数的倒数序列：

(1)	Σ我= 11/(2我- 1).

这个系列是发散的：

Σ_{我= 1}1/(2我- 1) > Σ_{我= 1}1/2我= ½Σ_{我= 1}1/我,

这应该理解为对两个级数的部分和的操作。奇数倒数的部分和大于调和级数的相应和除以2。由于后者不同，前者也不同。

接下来，我们从中排除(1)分母为3的倍数的项。其余项是以下形式之一的整数的倒数：6n个+ 1或6n个+ 5.分别取的倒数序列发散，其余的序列也发散。

我们可以无限期地继续这个过程，最终去掉所有复合数的倒数，只留下素数的倒谱。这个埃拉托西尼筛各种各样的。

我将使用来自哈代和赖特以表明余下的级数，即素数倒数的级数仍然发散。从这里可以看出素数不可能是有限的。（该证明也在数学的灵巧性，可以在中找到不同的证据书中的证据.)

假设所有素数都是根据它们的大小枚举的：2，3，5。。。，第页_k , ..., 考虑一下第一个k。对于给定的x个，定义N个(x个)作为集合中的项数

{n个≤x个:n个不能被超越的任何素数整除第页_k}.

大写：N个(x个)是的数字n个不超过x个只有素除数第页令人满意的第页≤第页_k.任何n个可以用以下形式表示

n个= (n个₁)² 米,

用一个无平方的 米:

米= 2^一₁三^一₂5^一_三· ... ·第页_k^一_k,

其中每个一是0或1。只有2个^k可能的组合k指数，因此不超过2^k的可能值米.

另一方面，

n个₁≤√n个≤√x个

所以没有超过√x个不同的值n个₁这意味着

N个(x个) ≤ 2^k√x个.

如果素数是有限的，并且它们的总数是k然后N个(x个) =x个对于每个x个等等

x个≤ 2^k√x个

或

x个≤ 2^2k

这是错误的x个> 2^2k.

我们现在使用相同的方法来证明以下内容

定理

证明

如果级数收敛，则其部分和趋于极限，因此余数

第页_n个= Σ_k>n个1/第页_k= 1/第页_n个+1+1个/p_n个+2+ ...

变得任意小。特别是，有n个这样的话第页_n个< 1/2:

1/第页_n个+1+ 1/第页_n个+2+ ... < 1/2.

的数量n个≤x个它们可以被第页最多是x个/第页因此，x个-N个(x个),即n个≤x个可被至少一个第页_n个+1,第页_n个+2, ... 不超过

x个/第页_n个+1+x个/第页_n个+2+ ... <x个/2.

从上述讨论中，我们得出结论：

x个/2 ≤N个(x个) ≤ 2^n个√x个,

或者，再一次，矛盾

x个≤ 2^{2(n个+ 1)}.

我们看到，素数倒数序列收敛的假设导致了一个矛盾。因此，该系列存在分歧。

参考

1. M.Aigner、G.Ziegler、，书中的证据，施普林格，2000
2. G.H.Hardy和E.M.Wright，数论导论第五版，牛津科学出版社，1996年。
3. R.Honsberger，数学的灵巧性，MAA，新数学图书馆，1970年

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