平方根无理性的几何证明

假设\（a^{2}=2b^{2{），用正整数\（a\）和\（b\），我们可以很容易地建立（（2b-a）^{2neneneep=2（a-b）^{2]）。前者的不可能性在于，（a>2b-a）（这表明我们正处于无限下降的开始。）这是（sqrt{2}）非理性的证明之一。一个美丽的插图这种推导的原因是斯坦利·丁尼鲍姆（1927-2006）在20世纪50年代提出的：

关键等式（（2b-a）^{2}=2（a-b）^{2]）可以用简单代数来验证；但这也是地毯定理这样，插图就完全属于无文字证明的范畴。

现在，史蒂文·米勒和大卫·蒙塔古发现了Tennenbaum图的类似物，它们说明了（sqrt{3}）、（sqrt{5}）和（sqart{6}）的非理性，并邀请好奇的人探索进一步的可能性。下面是3的平方根的图示：

假设（a^{2}=3b^{2{）三角形的边如图所示，中心三角形的边等于（2a-3b），因此地毯定理暗示了（2a-3b）^{2}=3（2b-a）^{2]，暗示了无限下降的可能性。

对于\（a^{2}=6b^{2{\），图表更复杂：

在图中，\（t=（3b-a）/2）和\（s=a-2b\）使得\（3（a-2b）^{2}=8（frac{3b-a}{2}）^{2}，因为边的中心三角形\（t）是边\（b）的三个三角形的交点，所以计算两次。从这里我们得到了\（6（a-2b）^{2}=[2（3b-a）]^{2{），以及\（2（3b-a）\lta）。

为了说明\（\sqrt{5}\}的不合理性，我喜欢下面描述的两种方法E.J.巴博其思想是找到两个五边形，其边和对角线以“整体”方式相关。其中第一个（归功于Kurt von Fritz和Wilbur R.Knorr）如下所示：

首先观察到，由于存在几种等腰三角形，

\（IJ=AJ+IC-AC=2AB-AC）和
\（IG=AI=AC-IC=AC-AB\）。

设置，\（AB=b\）和\（AC=a\），给予\（2a=（1+\sqrt{5}）b\），使得（a）和（b）的不可通约性等价于（sqrt{5}）的非理性。如果\（a\）和\（b\）是整数，那么\（b'=IJ=2b-a\）与\（a'=IG=a-b\）也是整数，并且以相同的方式关联，而它们分别小于\（b\\）和\。

在平方的情况下（即，在证明\（sqrt{2}\）的非合理性时）这很常见小正方形的边长等于对角线与大正方形边长的差值。上图中，对于五角大楼来说，较小图形的对角线等于对角线与较大图形边的差值。在下面的结构中，又是一个小五边形的边，它等于对角线和大五边形边的差：

如果\（a=BD\）、\（b=AB\）、（a'=DC\）和\（b'=CF\），则\（a'=b\）和（b'=a-b\）。

巴博还发现了一个类似的六边形图解，并证明了“较小的边是对角线和较大图形边的差”这一条件排除了进一步的延伸，“对角线”表示“最短的对角线“。

工具书类

1. E.J.Barbou，不可通约性证明：一种逐渐消失的模式,数学。美格。56 (1983) 82-90
2. S.J.Miller，D.蒙塔古，描绘非理性,数学。美格。85 (2012) 110-114

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