素数的无穷大
通过费马数

这个费马数以$\displaystyle F{n}=2^{2^{n}+1，$$n=0，1，2，\ldots$的形式形成一个序列。显然，所有费马数都是奇数。此外，我们很快就会看到，任何两个都是互质的。换句话说，每一个都有一个彼此不共享的主要因素。因此，素数不能是有限的。

根据下面的两个引理，没有两个费马数具有非平凡的公因子。

引理1

$F{0}\cdot F{1}\cdotF{2}\cdote\ldots\cdot F_{k-1}=F{k}-2，$$k\ge 1$

证明

证据来自归纳。由于$F_{0}=3$和$F_}=1}=5，$索赔确实适用于$k=1。$假设它适用于$k=n。$对于$k=n+1$

$\开始{align}F_{0}\cdot F_{1}\cdotF_{2}\cdote\ldots\cdot F_{n}&=（F_{0}\cdto F_{1}\cdo F_{2}\ cdot\ldott\cdot F{n-1}）\\&=（F_{n}-2）\\&=（2^{2^{n}}-1）（2^}2^{n}}+1）\\&=2^｛2^｛n+1｝｝-1\\&=F_{n+1}-2。\结束{对齐}$

引理2

对于$n\nem，$$F{n}$和$F{m}$是互质的。

证明

实际上，假设$t$将$F{n}$和$F{m}，$$m\ltn.$除以引理1，

$F_｛n｝＝F_｛0｝\cdot F_｛1｝\cdot\ldots\cdot F_｛m｝\cdot\ldots\cdot F_｛n-1｝+2$

暗示$t$除法

$F{n}-F{0}\cdot F{1}\cdot\ldots\cdot F_{m}\cdote\ldots\cdot F{n-1}=2$

但是$2$只有两个因子：$1$和$2.$作为奇数，费马数不能被$2整除。因此$t=1，$证明了引理。

参考

1. M.Aigner、G.Ziegler、，书中的证据，施普林格，2000
2. G.H.Hardy和E.M.Wright，数论导论第五版，牛津科学出版社，1996年。

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