均值的指数不等式
多林·马吉达努，
2016年2月4日
证明
舒尔不等式 $（x^t（x-y）（x-z）+y^t（y-z）（y-x）+z^t（z-x）（z-y）\ge 0）$ Schur不等式的一个应用 $\小{\左（5\左（\sum\sqrt{x+y}\右）\左（\sum\sqrt}（x+y）（y+z）}\右$ 幂与分数不等式 $\left（\显示样式\sum_{cycle}\frac{a^3b^3}{c^5}\ge\sum_{cycli}\frac{ab}{c}\right）$ 越南的三个初级问题 $\左（\左（\begin{array} {ccc}0 &y&z\\x&0&z\\x-y&0\end{数组}\right）\left（\begin数组}；a\\b\\c\end数组}\ right）=\left$
牛顿不等式和麦克劳林不等式 $\左（E_k（X）\右）^2\gt E_{k-1}（X）E_{k+1}（X），$$\左$ 重排不等式 $\left（\displaystyle\sum_｛i=1｝）^ {n} x _是_ {n+1-i}\le\sum{i=1}^ {n} x _是_ {\sigma（i）}\le\sum{i=1}^ {n} x _ iy_i \右侧）$ 切比雪夫不等式 $\左（\显示样式n\sum_{i=1}^ {n} x _是_ {i} \ge\sum_{i=1}^ {n} x _ i \和{i=1}^ {n} y_i（y_i） \右侧）$ 切比雪夫拿着钥匙 $\left（\displaystyle\sum_{k=1}^n\left[\left[（\sum_{i=1}^k\sina_i\right）\left$
Jensen不等式 $\左（f（λx_1+（1-\λ）x_2）\le\λf（x_1）+（1-\lambda）f（x_2）\右）$ 缪尔黑德不等式 $\left（\mathbf{a}\suck\mathbf{b}\；\right）$表示$\ left（[\mathbf2{a}]\ge[\mathbf{b}]\rift）$ 伯格斯特罗姆不等式 $\左（显示样式\ frac{x_1^2}{a_1}+\ frac}x_2^2}}{a_2}+\cdots+\ frac{x_n^2}{a_n}\ge\frac{（x_1+x_2+\cdot+x_n）^2}[a_1+a_2+\cdots+a_n}\右）$ 多林·马吉达努的例子II $\left（\displaystyle\sum_｛k=1｝^n\frac｛a^2_k｝｛a_｛\sigma（k）｝-1｝\ge 4n\right）$
Radon不等式及其应用 $\左$ Dorin Marghidanu关于Radon不等式的例子 $\ left（\显示样式\ frac{a^{m+n+1}}{b^mc^n}+\ frac}b^{m+1}}}{c^ma^n}+\frac{c^{m++}}{a^mb^n}\gea+b+c\ right）$
Jordan和Kober不等式，普华永道 $\left（\显示样式x\ in \ left（0，\frac{\pi}{2}\right）\，\Longrightarrow\，\sin x\gt\frac[2x}{\pi{right）$ 一只戴着代数帽子的数学兔子 $\左（x^{2}+y^{2{+z^{2neneneep-xy-yz-zx\ge0\右）$ 具有无穷级数的不等式 $\ left（\显示样式\sum_{n=1}^{1000}\frac{1}{n^{3}+3n^{2}+2n}\lt\frac}{4}\right）$ 一个不等式：$\left（1/2\cdot 3/4\cdot 5/6\cdot\ldots\cdot 99/100\lt 1/10\right）$ $\left（\text{}1/2的下限\cdot 3/4\cdot 5/6\cdot\ldots\cdot（2n-1）/2n\right）$ 一个不等式：更容易证明一个微妙的不等式 对数不等式 （日志 π 3+日志 三 π > 2) 不等式：1+1/4+1/9+。。。 小于2 带有调和差的不等式 $\ left（显示样式\ frac{2n}{3n+1}\ lt\ frac}1}{n+1}+\ frac[1}{n+2}+\ ldots+\ frac{1}{n+n}\ lt \ frac[25}{36}\ right）$ 一个不寻常归纳的不等式 $\left（显示样式1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}}{3^2}+\ldots+\frac-{1}{n^2}\gt\frac}{2n+1}\right）$ Hlawka不等式 $\左（|x+y|+|y+z|+|z+x|\le|x|+|y |+|z |+|x+y+z|\右）$ Hlawka不等式的一个应用 $\左（\sqrt{a^2-ab+b^2}+\sqrt}b^2-bc+c^2}+\sqrt{c^2-ca+a^2}\lea+b+c+\sqrt{a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca}\right）$ Hlawka不等式的一个应用Ⅱ $\左（\显示样式xPA+yPB+zPC+\frac{a\sqrt{3}} {2} 项目经理 \ge（y+z）PA’+（z+x）PB’+（x+y）PC’\右）$ Hlawka不等式的几何证明 $\左（|\vec{a}|+|\vec{b}|+| \ vec{c}|++|\vec{d}|\ge|\vec:a}+\vec}d}|+|1 \ vec}b}+\vec{d{d}|+|\$ 类Hlawka的Dinca不等式 $\左（（x+y）^{\阿尔法}+（y+z）^{\alpha}+（z+x）^{\talpha}\lex^{\alpha}+y^{\阿尔法}+z^{\α}+（x+y+z$ 凸函数的类Hlawka-不等式 $\左（g（x）+g（y）+g$ 凸四边形中的Hlawka $\left（AB+BC+CD+DA \gt AC+BD+2EF\right）$ 四边形不等式 来自Crux Mathematicorum的问题4165 $\left（\displaystyle\left|\sum_｛i=1｝^4x_i\right|+2\sum_｛i=1｝^4|x_i|\ge 6\sqrt[6]｛\prod_｛1\le i\lt j\le 4｝|x_i+x_j|｝\right）$
行列式中的一个不等式 $\left（\left|\开始{array}{ccc} 1 & 1 & 1\\ 酒店和客房\\ a^4和b^4和c^4\\ \结束{数组}\right|\ge\left|\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1\\ 酒店和客房\\ a^3&b^3&c^3。 \结束{数组}\right|\right）$ Cauchy-Schwarz不等式的应用 $\left（\displaystyle\sqrt｛a^2-1｝+\sqrt｛b^2-1｝+\sqrt｛c^2-1｝\le\frac｛ab+bc+ca｝｛2｝\right）$ 来自西藏的不平等 $\左（（bcde+acde+abde+abce+abcd）^4\ge 125（a+b+c+d+e）（abcode）^3\右）$ 摩洛哥的不平等 $\left（显示样式4|（a-b）（b-c）（c-d）（d-a）|\le abcd\right）$ 混合平均数的一个不等式 $\小{\左（\显示样式 \sqrt[m]{\prod_{j=1}^{m}\left[aj+\frac{1}{n}\sum{i=1}^ {n} x _ i \右]}\ge\frac{1}{n}\sum{i=1}^{n}\sqrt[m]{\prod_{j=1}^}（aj+xi）} \ge\prod_{i=1}^{n}\prod_{j=1}^}{m}\sqrt[mn]{aj+xi}\right）}$ 整数中的一个不等式 $\left（\显示样式\frac{a}{b}+\frac}{ab}\lt\sqrt{7}\right）$ 整数不等式II $\左（\显示样式\frac{a^3+b^3+c^3} {3} -美国广播公司 \ge 3k\右）$ 整数不等式III $\left（\displaystyle\sum_｛i，j=1｝^n\frac｛i^2j^2｝｛i+j-1｝\gt n^3\right）$ 一个带指数的不等式 $\left（\显示样式e^{\frac{4}{e}}\ left（b\cdota^{2\sqrt{a}}+c\cdotb^{2\\sqrt}}+a\cdotc^{2\\sqrt{c}}\ right）\ge3\sqrt[3]{abc}\right）$ 均值的指数不等式 三变量中的一个简单不等式 $\左（\显示样式\总和_ {cyc}交流 \左（\frac{1}{2a+b}+\frac}{2c+b}\right）\le\sqrt{3（a^2+b^2+c^2）}\rift）$ 一个非对称不等式 $\左（（a+b）（a+c）\ge2\sqrt{abc（a+b+c）}\右）$ 不等式证明的线性代数工具 $\left（\displaystyle\left（\frac｛a｝｛b-c｝\right）^2+\left（\frac｛b｝｛c-a｝\right）^2+\left（\frac｛c｝｛a-b｝\right）^2 \ge 2.\right）$ 一个具有一般证明的不等式 $\左（2\sqrt{b}+\sqrt{aS+b}\le\sqrt}ax+b}+\sqrt}ay+b}+\sqrt{az+b}\ le\sqart{3aS+9b}\right）$ 罗马尼亚奥运会上一个不等式的推广 $\左（\displaystyle\frac{2}{n-1}\sum_{1\lei\ltj\len}_ {i} 一个_ {j} \le\ln\left（\prod_｛k=1｝^ {n} 一个_ {k} ^{a{k}}\右）+\frac{1}{e}\sum{k=1}^ {n} e（电子） ^{a{k}}\右）$ 梯形中的面积不等式 $\左（[PQRS]\le\frac{1}{4}[ABCD]\右）$ 改善不平等 $\left（\displaystyle\sum_｛k=1｝^｛n｝\frac｛1｝｛\sqrt｛k｝｝\gt 2（\sqrt｛n+1｝-1）\right）$ 罗马尼亚-挪威不平等 $\左（\sqrt{\cotA}+\sqrt}\cotB}+\scrt{\cot C}\ge2\right）$ 嵌套根不等式II $\left（\displaystyle\sqrt{n+1}\le\sqrt{n+\sqrt}（n-1）+\sqrt{\ldots+\sqart{2+\sqrt{1}}}\le\sqrt}2n-1}\right）$ 幂和根的不平等 $\left（\displaystyle\sum_｛cycl｝\sqrt[6]｛ab^2c^3｝\ge\sum_｛cycl｝\sqrt[30]｛a^9b^ {10} c（c） ^{11} }\右）$ 具有两个极小值的不等式 $\left（\displaystyle\sqrt{a-c}+\sqrt}b-c}\le\min\left\{\sqrt{\frac{ab}{c}}，\sqrt{2（a+b-2c）}\right\}\right）$ 具有多个面和变量的简单不等式 $\左（\显示样式\压裂{a^2}{c-1}+\压裂{b^2}}{d-1}+\压裂{c^2}{e-1}+\frac{d^2}#a-1}+\srac{e^2}[b-1}\ge20\右）$ 一个含行列式的不等式 $\left（\displaystyle\left|\begin{array}{cccc}\，a&-b&0&0\\0&b&-c&0\\0&0&c&-d\\1&1&1+d\end{arrays}\right|\ge3\sqrt[3]{4}（abcd）^{5/6}\right）$ 一个行列式不等式II $\left（\displaystyle\Delta=\left|\begin{array}{cccc} \,1 & 1 & 1 & 1\\ 房屋建筑和建筑设计\\ a^2和b^2和c^2和d^2\\ \压裂{1}{a^2}&\frac{1}}{b^2}&\frac{1}{c^2}&\frac}1}{d^2} \结束{数组}\right|\t\frac{1}{abcd}\left（\frac}1}{a}+\frac{1}}{b}+\fric{1}{c}+\frac{1{d}\right）\right$ 一个含行列式的不等式III $\left（\displaystyle\left|\begin{array}{ccccc} \，0&x^2&y^2&z^2&1\\ x^2&0&x^2+y^2&x^2+z^2&1\\ y^2&x^2+y^2&0&y^2+z^2&1\\ z^2&x^2+z^2&ry^2+z ^2&0&1\\ 1&1&1&1&0\end｛array｝\right | \le \left | \ begin｛array｝｛ccccc｝开始 \，0&a^2&b^2&c^2&1\\ a^2和0&a^2+b^2和a^2+c^2和1\\ b^2&a^2+b^2＆0&b^2+c^2&1\\ c^2&a^2+c^2&b^2+c ^2&0&1\\ 1&1&1＆0\end{数组}\right|\right）$ 一个具有行列式的不等式IV $\left（\displaystyle\left|\begin{array}{cccc}\，a&-b&0&0\\0&b&-c&0\\0&0&c&-d\\1&1&1+d\end{arrays}\right|\ge3\sqrt[3]{4}（abcd）^{5/6}\right）$ 一个具有行列式V的不等式 $\左（\显示样式 \增量=\left|\begin{array}{cccc} \，s&\压裂{a^2b}{a^3+b}&\压裂}b^2c}{b^3+c}&\裂缝{c^2a}{c^3+a}\\ \压裂{a^2b}{a^3+b}&s&\压裂{c^2a}{c^3+a}&\压裂}b^2c}{b^3+c}\\ \压裂{b^2c}{b^3+c}&\压裂{c^2a}{c^3+a}&s&\压裂}a^2b}{a^3+b}\\ \压裂{c^2a}{c^3+a}&\压裂{b^2c}{b^3+c}&\裂缝{a^2b}{a^3+b}&s\end{array}\right|\ge0\right）$ 一个含行列式的不等式VI $\left（\显示样式\frac{\Delta_1-\Delta_2}{（b-a）（a-c）（b-c）}\ge12\sqrt[6]{（abc）^5}\right）$ 一个含有行列式的不等式VII $\左（\显示样式 \left | \ begin｛array｝｛ccccc｝开始 \，0&a^2&b^2&c^2&1\\ a^2和0&a^2+b^2和a^2+c^2和1\\ b^2&a^2+b^2＆0&b^2+c^2&1\\ c^2&a^2+c^2&b^2+c ^2&0&1\\ 1&1&1~1&0\end{数组}\right| \le\frac{1}{8}\prod_{cycle}（a+b）^2\right）$ 倒数中的一个不等式 $\left（\显示样式\开始{align}\frac{4}{9}\左（\ frac{1}{a}+\frac}1}{b}+\frac{1}}{c}\右）&+4\左（\frac[1}{a+2b}+\frac{1}[b+2c}+\frac{1{c+2a}\right）\\ &\ge 5\左（\压裂{1}{2a+b}+\压裂{1'{2b+c}+\裂缝{1}{2c+a}\右）+\压裂}1}{a+b+c{。 \结束{align}\右）$ 互易中的一个不等式II $\左（\显示样式\压裂{1}{4a+1}+\压裂{1}{4b+1}+\压裂{6}{2a+2b+1}\ge\压裂{4}{3a+b+1}+\压裂{4}{3b+a+1}\right）$ 互易中的一个不等式Ⅲ $\left（显示样式\frac{1}{3}\sum_{cycle}\frac}1}{a+b}+\sum_{cycle}\frac{1}{4a+b+c}\ge\sum_}cycle}\ left（\ frac{1}{a+2b+3c}+\ frac}{1}}{a+3b+2c}\ right）\right）$ 2016年多瑙河大赛的一个问题 $\left（\displaystyle\{E（a，b）|\；a\gt 0，b\gt 0\}\subset\ left（\frac{11}{10}，\frac{10}{9}\right]\right）$ Danubius XI比赛中的一个问题 $\左（\显示样式\frac{a+b}{（1+c）^2}+\ frac{b+c}{$ 一个带有积分和重排的不等式 $\左（\显示样式\总和_ ｛循环｝b ^2c^3\int_0^a（\cot x）（\arctan x）dx\lt abc（a^3+b^3+c^3）\right）$ 带有Cot、Cos和Sin的不等式 $\left（\displaystyle\sum_{cycle}\cot^2A\，\cot|2B\ge\frac{\displastyle\sum_{ycle}\cos^2A}{\disposystyle_sum_}cycle}\sin^2A}\right）$ RMM中的一个三角不等式 $\left（\displaystyle\sin（x+y）\le\sinx\left$ 一个有限和不等式 $\left（显示样式\sum_{k=1}^n\frac{（2+x）^k}{2+x\cdot k}\ge2^n-1\right）$ 洪越的不平等 $\left（显示样式1+\sum_{cycle}\frac{ab}{a^2-ab+b^2}\ge\frac{3}{2}\cdot\frac{（a+b）（b+c）（c+a）}{a43+b^3+c^3}\right）$ 红越不平等II $\left（显示样式\min_{all}（a-b）^2\le\frac{a^2+b^2+c^2+d^2}{5}\right）$ 红越不平等III $\左（\显示样式\左（\sum_ {cycle}循环 ^4\右）\左（\sum_ {循环}ab ^3\右）\ge\左（\sum_ {cycle}循环 ^3b\右）\左（\sum_ {cycle}循环 ^2b^2\右）$ 微积分不等式 $\left（\displaystyle\frac｛b^｛n+1｝-a^｛n+1｝｝｛n+1｝+\frac｛ab（b^ {n-1}-a ^{n-1}）}{n-1{leq（b-a）\sqrt{2（a^{2n}+b^{2n}）{右）$ Dorin Marchidanu的微积分引理 $\left（显示样式u^v\gt\frac{u}{u+v}\right）$ 微积分引理中的一个指数不等式 $\left（\displaystyle a^b\cdot（a+b）^c\cdot（a+b+c）^d\gt\frac｛a｝｛a+b+c+d｝\right）$ 微积分引理Ⅱ中的一个指数不等式 $\左（2^a（b+c）^{1-a}+2^b（c+a）^{1b}+2^c（a+b）^{1-c}\lt 4（a+b+c$
面积不等式 $\左（\显示样式a^{2}+b^{2{+u^{2neneneep+v^{2]+au+bv\ge\frac{3}{2}\右）$ RMM中的一个4变量不等式 $\左（\显示样式|（a-b）（b-c）（c-a）|\le\sum_{cycle}|a-b||a+c+\eta||b+c+\ta|\右）$ 2次幂RMM的一个不等式 $\左（2^x+2^y+2^z+2^{x+y+z}\gt\sqrt[x+y]{16^{xy}}+\sqrt[y+z]{16_{yz}}+\sqrt[z+x]{16~{zx}}+1\右）$ 一个带积分的循环不等式 $\bigg（2bc\Omega（a）+2ca\Omeca（b）+2ab\Ome加（c）\lt a^2+b^2+c^2$其中$\Omeba（t）=\displaystyle\int_{0}^{1}\frac{1-x^2}{1+tx^2+x^4}dx\ bigg）$ 带积分的循环不等式II $\bigg（\欧米茄（a，b，c）+\欧米加（b，c，a）+\奥米加（c，a，b）\le 1，$其中$\Omega（p，q，r）=\displaystyle\int_{0}^{1}\frac{x^p}{1+x^p+x^{q+r}}dx\ bigg）$ 一个具有绝对值的不等式 $\left（\displaystyle\sum_｛cycl｝\frac｛|a|+|b|｝｛1-c^2｝\ge\sum_｛cycl｝\frac｛2|a|｝｛1-bc｝\right）$ 泛型为5的RMM不等式 $\左（显示样式\ sqrt[3]{（2a+5）（2b+5）[（2c+5）}\ge\frac{6abc}{ab+bc+ca}+5\右）$ 一个非初等不等式 $\左（12（a\sin a+\cos a-1）^2\le 2a^4+a^3\sin 2a\右）$ 四边形中的不等式 $\left（\displaystyle\sum_{cycle}\sqrt{a^2+b^2+c^2}\gt 2\sqrt{3\cdot AC\cdot BD}\right）$ Marian Dinca对Nesbitt不等式的精化 $\左（显示样式\开始{align}\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}&\ge\frac}（a+b+c）^2}{2（ab+bc+ca）}\\&\ge\ frac{3\sqrt{3（a^2+b^2+c^2）}}{2 \右）$ 循环四边形中的一个不等式 $\left（显示样式\frac{R}{8\sqrt{2}}\ge\frac[4]{（abcd）^3}}{（a+b+c+d）^2}\right）$ 循环四边形Ⅱ中的一个不等式 $\left（显示样式\sin A\sin B\le（\frac{s} {a} -1个 )（\压裂{s} {b} -1个 )（\压裂{s} {c} -1个 )（\压裂{s} {d} -1个 )\右侧）$ 循环四边形III中的一个不等式 $\左（\显示样式\cos\frac{A}{2}\cos\frac{B}{2{cos\frac{C}{2neneneep \cos\ frac{D}{2neneneei \le\frac{S^2}{4abcd}\右）$ 循环四边形IV中的一个不等式 $\左（a^2-b^2-c^2+d^2+4S\le2\sqrt{2}（ad+bc）\右）$ 三线性约束不等式 $\左（\显示样式\frac{1}{a}+\frac{1}}{b}+\frac{1{c}\ge1\right）$ 三个数的不等式，并非全部为零 $\左（\显示样式\frac{a^2-ab+b^2}{b^2+bc+c^2}+\ frac{b^2-bc+c_2}{c^2+ca+a^2}+\ frac{c^2-ca+a_2}{a^2+ab+b_2}\ge 1\right）$ 一个简单的三积分不等式 $\左（\显示样式a^2\int_{0}^{b}\frac{\arctan x} {x} dx公司 +b^2\int_{0}^{c}\frac{\arctan x} {x} dx公司 +c^2\int_{0}^{a}\frac{\arctan x} {x} dx公司 \lt a ^3+b ^3+c ^3 \right）$ 循环和中的除法与征服 $\左（\显示样式\总和_ {循环}c \左（\frac{4a}{b^2}+\frac{3b}{a^2}\right）\ge12+3\sum{cycle}\frac{a}{b2}\rift）$ 吴氏不等式 $\左（（x^2+xy+y^2）（y^2+yz+z^2）$ 复平面上的Dorin-Marghidanu不等式 $\left（显示样式\sum_{cycle}（|（2-n）\cdot z_1+z_2+\ldots+z_n|\ge\sum_{k=1}^n|z_k|\right）$ 整数变量中的Dorin Marghidanu不等式 $\左（\显示样式\frac{m}{\sqrt[m]{1+n}}+\frac{n}{\squart[n]{1+6}}\gt\frac}m+n}{2}\right）$ Dorin Marghidanu的多变量不等式 $\left（\displaystyle\prod_｛k=1｝^｛n｝\sqrt[n]｛\frac｛\displaystyle\sum_｛i=1，i \ne k｝^ {k} a_i }{a_k）}}（右）$ Dorin Marghidanu的多变量加二不等式 $\left（显示样式G_n\left[p+\frac{r}{a_1}，p+\frac{r}}{a_2}，\ldots，p+\frac{r{a_n}\right]\ge p+\fras{r}{a_n[a_1，a_2，\ldot，a_n]}\right）$ Dorin Marghidanu与根式的不等式 $\left（\显示样式\sum_{k=1}^{n}\sqrt[i_k]{x_k}\gt\sqrt[小{\显示样式\sum_{k=1}^ {n} 确定（_k） }]{\prod_{k=1}^ {n} x（_k） }\右）$ 多林·马吉达努的四个变量中的淡雅 $\left（\displaystyle\sum_｛cycl｝（-a+b+c+d）^2第2页（a+b+c+d）-1\right）$ 多林·马吉达努的西班牙问题 $\left（\显示样式n^*\le（n_*）^2\right）$ 双面不平等——一个起源 $\left（\displaystyle\sum_｛k=1｝^｛2n（n+1）｝\frac｛1｝｛\sqrt｛2k｝+\sqrt｛2k+1｝｝\lt n\lt\sum_｛k=1｝^｛2n（n+1）｝\frac｛1｝｛\sqrt｛2k-1｝+\sqrt｛2k｝\right）$ 一个带阶乘的不等式 $\左（a_1\cdot a_2\cdot\ldots\cdot a_n+（1-a_1）\cdot（2-a_2）\cdot\ ldots\cdot（n-a_n）\le n！ \右侧）$ 单位圆上的奇妙不等式 $\左（\显示样式\左（\frac{a+b}{1+ab}\右）^2+\左（\frac{a-b}{1-ab}\左）^2\ge 1\right）$ 求解不等式的二次函数 $\左（（a^2+3x^2）（b^2+3y^2）[（c^2+3z^2）\ge 4（ayz+bzx+cxy+xyz）^2\右）$ 一个项大于其他项的不等式 $\left（\displaystyle\left（\sum_{k=1}^na_k\right）\left$ 复杂约束-简单不等式 $\左（3（a+b）（b+c）（c+a）\ge\frac{\显示样式8}{\显示风格\sqrt[8]{a^3+b^3+c^3}}\右）$ 代换的力量II：用三个变量证明一个不等式 $\左（\显示样式\压裂{ab}{（a+b）^2}+\压裂{bc}{$ 代数几何不等式 $\左（\sqrt{x^2-\sqrt {3} xy公司 +y^2}+\sqrt{y^2-\sqrt {2} yz公司 +z ^2｝\ ge \ sqrt（z ^2-zx+x ^2｝\右）$ 一个不等式-两个域 $\左（\显示样式3\prod_{cycle}（a^2+ab+b^2）\ge\左（\sum_ {cycle}循环 \右）^2\cdot\left（\sum_ {循环}ab \右）^2 \右）$ 不等式中的根、根和更多根 $\bigg（\displaystyle\gamma=\frac{\sqrt[4]{xz}}{\sqart{x}+\sqrt{z}}.\，$证明 $\sqrt｛x｝+\sqrt｛y｝+\sqrt｛z｝\ge 2\gamma\sqrt｛3（x+y+z）｝\bigg）$ 三角形和一般不等式 $\left（\显示样式\sum_{cycle}\frac{\cotA\，\cot^3B}{\cot ^2B+2\cot_2A}+2\sum_{cycle}\frac{\cot_2A\cot B}{cot A+2\cot B}\ge 1\right）$ Dan Sitaru的多变量循环不等式 $\left（\显示样式a+b+c+d\le\frac{a^5+b^5+c^5+d^5}{abcd}\right）$ 外切四边形上的一个不等式 $\左（s\ge 4R\右）$ 一个分数不等式 $\left（显示样式m\le\frac{a_1+a_2+\ldots+a_n}{b_1+b_2+\ltots+b_n}\leM\right）$ 一个单位长度复数不等式 $\左（|a-b|+|a-c|\ge|a+b|+| a+c|\右）$ 一个单位长度复数不等式Ⅱ $\左（|a^2+bc|\ge|b+c|\右）$ Le Khanh Sy的问题 $\左（xa^2+yb^2+zc^2\ge 2m \右）$ 一个非三角形不等式 $\ left（\显示样式\ sqrt{a^2+b^2-ab\ sqrt{2}}+\sqrt{b^2+c^2-bc\sqrt{3}}+\sqrt}c^2+d^2-\ frac{cd（\sqrt}6}+\scrt{2}）}{2}\ge\ sqart{a^2+d^2}\right）$ 三元非循环不等式 $\左（\显示样式\ frac{（a^2-bc）^2+（b^2-ca）^2+（c^2-ab）^2}{a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca}\geq3（a-b）（b-c）\右）$ 带面积、范数和复数的不等式 $\left（显示样式\frac{（ad-bc）（3（a^2+b^2）（c^2+d^2）-4（ad-bb）^2）}{\ left（（a^2+b^ 2）（c ^2+d ^2）\ right）^{\ frac{3}{2}}}\le 1\right）$ 达里杰·格林伯格的三变量不等式 $\左（a^2+b^2+c^2+2abc+1\ge 2（ab+bc+ca）\右）$ 小变化带来大差异 $\left（显示样式\frac{1}{\displaystyle\sqrt{1+a^2-\frac{（a-b）^2}{2}}+\frac{1}}{\显示样式\sqrt}1+b^2-\frac{（-a-b）^2{2}{}}\ge\frac}{2{\sqart{1+ab}}}\right）$ 双变量不等式？ 再想想 $\ left（\显示样式\ frac{1}{\sqrt{1+a^2}}+\ frac}{\scrt{1+b^2}{le\frac{2}{\sqrt{1+3b}}\ right）$ 蒙古族11年级奥林匹克竞赛题 $\ left（\显示样式\压裂{a}{3a+2b^3}+\压裂{b}{3b+2c^3}+\压裂{c}{3c+2a^3}\勒\压裂{1}{5}\左（\压裂{1}{a^2}+\裂缝{1}{b^2}+\裂缝{1}{c^2}\右）$ Sitaru——Schweitzer不等式 $\左（\显示样式\左（\int_{a}^ {b} （f） （x） dx\右）\左（\int_{a}^{b}\frac{1}{f（x）}dx\right）\le\frac}（m+m）^2}{4mM}（b-a）^2\right）$ Pólya Szegö不等式 $\left（\displaystyle\frac{\displastyle\left（\sum_{k=1}^ {n} 一个 ^2_｛k｝\右）\左（\sum_｛k=1｝^ {n} b条 ^2_{k}\右）}{\显示样式\左（\sum_{k=1}^ {n} 一个_ {k} b条_ {k} \right）^2}\le\ left（\frac{\displaystyle\sqrt{\frac}M_1M_2}{M_1M_2}}+\sqrt{\ frac{M_1m2}{M_1M_2}}{2}\ right）$ 坎托洛维奇不等式 $\left（\显示样式\左（\sum_{k=1}^{n}\gamma_ku_k^2\right）\左（\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{gamma_k}u_k^1\right^ {n} 单位 ^2_{k}\右）^2\右）$ Greub-Rheinboldt不等式 $\左（\显示样式\左（\sum_{k=1}^ {n} （_k） ^2u_k^2\right）\left（\sum_{k=1}^ {n} b_k（英国） ^2u_k^2\右）\le\frac{（M_1M_2+M_1M_2）^2}{4m_1M_2M_1M_2}\left（sum_{k=1}^ {n} a _ kb _ ku ^2_{k}\右）^2\右）$
一个具有循环和和乘积的不等式 $\left（\small｛\displaystyle\sum_｛cycl｝\frac｛a^2｝｛（b+c+d+e）（a-b）（a-c）（a-d）（a-e）｝\lt\frac｛（a+b+c+d+e）^2｝｛1024abdede｝｝\right）$ 2016年泛非数学奥林匹克竞赛的问题1 $\left（\显示样式\sum_{cycle}\frac{1}{（x+1）^2+y^2+1}\le\frac}{2}\right）$ 一个含有积分和根的不等式 $\左（\显示样式 \大（\int_0^1\sqrt[3]{f（x）}dx\Bigr）$ 四个变量中的孪生不等式：孪生1 $\left（\显示样式（ac+bd）^2\left（b\sqrt[5]{ab^4}+d\sqrt[5%{cd^4}\right）\left$ 四变量中的孪生不等式：孪生2 $\left（\displaystyle（a\sqrt[3]｛a^2b｝+c\sqrt[3]｛c^2d｝）（b\sqrt[3]｛ab^2｝+d\sqrt[3]｛cd^2｝）\le（a^2+c^2）（b^2+d^2）\ right）$ 具有多种解的简单不等式 $\left（\displaystyle\sum_{cycle}\ left（\frac{\lnx}{\lny\lnz}+\frac{.lny}{\nz\lnx{\right）\ge\frac{18}{\lin（xyz）}\ right）$ 四变量中的一个部分循环不等式 $\左（\显示样式\总和_ {循环}xe ^x\ge（x+y+2）e^{x+y=2}+（z+t-2）\sqrt[3]{e^{z+t-2}}\右）$ 丹·西塔鲁的归纳不等式 $\左（\显示样式\开始{align}和\小{\frac{3}{a+1}+\frac}3}{b+1}+\frac{2}{c+1}+\ frac{1}{d+1}}\\ &\小的｛\cuad\le 6+\frac｛1｝｛a+b+1｝+\frac｛1｝｛a+b+c+1｝+\frac｛1｝｛a+b+c+d+1｝｝｝\end｛align｝\right）$ 三个（还是两个）变量中的不等式 $\left（显示样式\frac{（x+y）^2}{（x\sin^2z+y\cos^2z）（x\cos_2z+y\sin^2 z）}+\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\geq6\right）$ 四个加权变量中的一个不等式 $\left（\displaystyle（a+c）^c（b+d）^d（c+d）^｛c+d｝\le c^cd^d（a+b+c+d）^｛c+d｝\right）$ 具有绝对值的分数中的一个不等式 $\left（\displaystyle\omega\lt\frac{1}{3}\ left（\sum_{cycle}\frac{a|a|-b|b|}{a-b}\right）\lt2\omega\ right）$ 二重积分和三重积分不等式 $\left（\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}}\int_0^}\frac{\pi{2}{cos\left（\frac{x+y}{2{right）dxdy\ge\frac{\ pi}{2\right）$ 一个古老的不平等 $\left（\displaystyle\frac{4ab}{（a+b）^2}\ge\cos\left（\frac{pi}{2}\cdot\frac{a-b}{a+b}\ right）\right）$ Dan Sitaru的惊人的、永无止境的不平等 $\left（\displaystyle\small{\sum_{cycle}\ left（\frac{a}{b}\right）^2\cdot\sum_}cycle}\left \右）\cdot\sum{cycle}\左（\frac{b}{c}\right）}\右）$ Leo Giugiuc的练习 $\left（\displaystyle x\sin x+x^2 \cos x\le 2\sin ^2 x\right）$ 另一个对数不等式，但不是真的 $\左（\displaystyle\sum_{cycle}\frac{\log_y^3x+\log_z^3y}{\logy^2x+\log_zx+\og_z^2y}\geq2\right）$ 通过改变外观解决的不等式 $\左（\显示样式\总和_ {cycle}循环 ^2\cdot\sum_{cycle}\frac{1}{x^2}+\frac{\显示样式2\sum_ {循环}ab \cdot \总和_ {循环}x }{xyz}\ge 0\right）$ 到圆上三点的距离 $\左（3\le|z-a|+|z-b|+|z-c|\le 4\右）$ 一个带幂和对数的不等式 $\ left（\显示样式\ frac{a}{b}+\ frac}a^2}{b^2}+\压裂{a^3}{b|3}+12\lnb\ge\压裂{b}{a}+\frac{b^2]{a^2{+\压裂$ 一个不等式中的四个积分 $\left（\显示样式\小{\左（\int_a^bxf（x）dx\right）\左（\t_a^bf^2（x）d\right）\left$ 相同积分，三个区间 $\left（显示样式\小{I（u，v）=\int_u^v\left$ Dorin Marchidanu不等式的推广 $\左（\显示样式（x+y）^2+（y+z）^2+$ Dan Sitaru不等式与三个相关积分和导数 $\左（\显示样式\小{\左（\int_0^af（x）dx\右）^4\leq\frac{a^8}{60}\左（\t_0^a\left（f'（x）\right）^2dx\right$ 两个或多个变量中的不等式 $\左（\显示样式\压裂{a}{1+a}+\压裂{b}{（1+a）（1+b）}+\裂缝{c}{$ 两个或多个变量的不等式II $\left（\显示样式（a+1）^{a+1}\cdot（b+1）^}b+1}\cdot（c+1）^c+1}\lee e^{a+b+c}\cdot\sqrt{e^{a ^2+b^2+c^2}}\right）$ 一个不完全循环不等式 $\ left（\显示样式\frac{a^2+b^2+c^2}{a+b+c}\le\ frac{ab+bc+ca}{a+5+c}+|a-b|+|b-c|\ right）$ 丹·西塔鲁不等式：从三个变量到多个变量 $\left（\显示样式a+b+c\ge\frac{3}{2}\right）$ 一个带正弦但不在三角形中的不等式 $\左（\显示样式 \prod_｛cycl｝\Bigr（a ^2 \sin \ frac｛2 \pi｝｛a｝+（a+1）^2 \sin \ frac｛2 \pi｝｛a+1｝\Bigr）\gt 2^｛16｝\ right）$ 一个有角度和整数的不等式 $\left（显示样式k^2\tan\alpha+l^2\tan\beta\geq\frac{2kl}{\sin（alpha+\beta）}-（k^2+l^2）\cot（alpha+/beta）\right）$ Sladjan-Stankovik的四变量不等式 $\左（\显示样式 2\sum公司_ {cycle}循环 ^2-3\压裂{\显示样式\sum_ {cycle}循环 ^3} {\显示样式\sum_ {cycle}循环 }\le\sum公司_ {全部}ab \右侧）$ 一个含有两对三元组的不等式 $\left（\显示样式（a^2+b^2+c^2）\left$ Turkevich不等式的改进 $\左（\显示样式a^2+b^2+c^2+d^2+\frac{32abcd}{（a+b+c+d）^2}\ge\sum_ {对称}ab \右侧）$ 丹·西塔鲁与Pi和Ln的练习 $\left（\displaystyle\small｛\arctan（z-x）+\arctan（z-y）+\arctan（y-x）\lt\frac｛\pi｝｛2｝-\ln（2）｝\right）$ Leo Giugiuc的四变量循环速度 $\左（3（xyz+yzt+ztx+txy）^2\ge 8（xy+xz+xt+yz+yz）xyzt\right）$ Dan Sitaru的四变量循环不等式 $\left（\显示样式\sum_{cycle}\frac{a^7}{bcd+a^3}\ge 2abcd\right）$ 一个来自西藏的不完全循环不等式 $\左（（x+y）^2（z^2+xz+x^2+xy+y^2+yz）^2\ge 8（xy+yz+zx）^2$ SSMA杂志中2+2变量的不等式 $\left（显示样式k^2\tan\alpha+l^2\tan\beta\ge\frac{2kl}{\sin（alpha+beta）}-（k^2+l^2）\cot（alpha+/beta）\right）$ 带参数的Kunihiko Chikaya不等式 $\bigg（p\ge2.$Prove$\displaystyle\sum_{cycle}\frac{a}{\sqrt{ap+b}}\le\sqrt}\frac{3（a+b+c）}{p+1}}\big）$ Dorin Marghidanu的置换不等式 $\left（显示样式\sum_{k=1}^n\left（a_k+\frac{1}{a_{sigma（k）}}\right）^p\ge\frac{（s^2+n^2）^p}{n^ {p-1}秒 ^p} \右）$ 一个包含算术和几何平均的不等式 $\左（\显示样式\sum_{cycle}\frac{1}{a^4+b^4+c^4+abcd}\le\frac}{abcd}\右）$ Dorin Marghidanu的总和和产品 $\left（\显示样式\sum_{k=1}^n\frac{a_k}{P_kS_k}\ge\frac{n^n}{\显示样式（n-1）S^{n-1}}\right）$ 简单的无名不等式 $\left（\displaystyle\sum_｛k=1｝^n\frac｛S｝｛S_k｝\ge\frac｛n^2｝｛n-1｝\right）$ 四面体中的体积不等式 $\左（OA\cdot OB\cdot OC\ge 27xyz\right）$ 凸四边形中的不等式 $\left（\displaystyle\frac{\displastyle\sum_{cycle}\sqrt{b+c+d-a}}{a+b+c++d}\ge\sqrt}\frac{2（a+b+c+d）}{a^2+b^2+c^2+d^2}}\right）$ 丹·西塔鲁不等式与二重积分 $\left（显示样式\begin{align}和\small{\int_0^1\int_0^1 \sqrt{\left\\ &\qquad\qquad\qquad\small｛\ge（m+n）\int_0^1f（x）dx｝。 \结束{align}\右）$ Dorin Marchidanu的可爱运动 $\left（\displaystyle\sum_｛k=1｝^n\frac｛2k-1｝｛\sqrt[2k-1]｛a_k｝｝\ge\frac｛n^2｝｛\sqrt[n^2｝｛a_1a_2\ldots a_n｝｝\right）$ 不等式的一点代数，推广的一点微积分 $\ left（\显示样式\ frac{a^{n+1}-b^{n+1}}{a-b}\cdot\frac{b^{n+1}-c^{n+1}{b-c}\cdot \frac}c^{n++}-a^{n|1}}{c-a}（n+1）^3（abc）^n\right）$ 一个具有中心二项式的不等式 $\left（\displaystyle\sqrt{2}\le\sqrt[n（n+1）]{2\choose 1}{4\choose 2}\cdots{2k\choosek}\cdot{2n\choose-n}}\lt2\right）$ 一个多变量的简单不等式 $\left（显示样式\sum_{k=1}^n\sqrt{frac{a_k+a{k+1}}{a{k+2}}}\gen\sqrt{2}\right）$ 四元循环不等式 $\left（\displaystyle\frac｛3｝｛4｝\sum_｛cycl｝\frac｛a^3｝｛bcd｝\ge 1+\frac｛\displaystyle 3\sum_ {cycle}循环 ^2} {\显示样式\sum_ {全部}ab }\右）$ D.Sitaru提出的四元循环不等式 $\left（\显示样式\sum_{cycle}\frac{a^7}{a^3+bcd}\ge2abcd\right）$ Lorian Saceanu的多变量不等式 $\left（\displaystyle\frac{1}{2}\ left（\sqrt{ab}+\frac{1}}{\sqrt}ab}}\ right）\left$ 一个真代数几何不等式 $\left（显示样式\small{\sqrt{\sum_{k=1}^n（2a_k-b_k）^2}+\sqrt}\sum_}k=1}^n（3b_k-a_k）|2}\ge\sqrt{\sum_{k=1}^na_k^2}+\squart{\sam_{k=1}^nb_k^2}}\right）$ Leo Giugiuc的平方根循环不等式 $\左（\displaystyle\sqrt{x+y}+\sqrt{y+z}+\scrt{z+x}\ge2\sqrt{（x+y）（y+z）（z+x）}{xy+yz+zx}}\右）$