向量空间中的俱乐部

在人口为N的城镇中，每个俱乐部都有奇数个成员，任何两个俱乐部都有偶数个共同成员。证明俱乐部的数量最多为N。

工具书类

B.博洛巴斯，数学的艺术：孟菲斯的咖啡时光，剑桥大学出版社，2006年，第163页

在人口为N的城镇中，每个俱乐部都有奇数个成员，任何两个俱乐部都有偶数个共同成员。证明俱乐部的数量最多为N。

首先，注意可能有N个俱乐部。在每个公民自己组成俱乐部的极端情况下，正好有N个俱乐部。

在数学术语中，我们研究的是N个_N个={1，2，…，N}。让他们有M个：A₁，A₂, ..., 一_M（M）。如果像往常一样，|X|表示有限集合X中元素的数目，那么问题告诉我们|a_k|是奇数，|A_k●A型_米|是公平的1≤k，m≤m，k≠m。

让F_k表示特征函数集合A的_k:F类_k（x） =1，如果x∈A_k和F类_k（x） =0，否则。我们来看F_k作为0和1的二进制向量。每个这样的向量都有奇数个非零分量（当然每个分量都等于1）。所有这些矢量在场上形成一个调光N的矢量空间Z轴₂两个元素0和1。在此空间中定义标量积：

（x）₁，x个₂, ..., x个_N个)·（年₁，年₂, ..., 年_N个)=∑x_k年_k（模式2），

1≤k≤N。问题的条件意味着F类_k·如果_k= 1,虽然F类_k·如果_米= 0,k≠m。我们将证明这仅适用于M≤N。

首先，向量F_k线性独立：其中一个不能是其他组合的总和。因为，假设相反

F类_k=F_米₁+ ... + F类_{米_t吨},

米_秒≠k。乘以F_k:

1=F_k·F类_k=F_米₁·F类_k+ ... + F类_{米_t吨}·F类_k= 0 + ... + 0 = 0,

矛盾。由于F的空间是N维的，因此不可能有超过N个线性无关向量。我们的结论是M≤N。

我们的论点肯定有问题，变得绝对错误透明、透明、模糊、坚韧、协同如果你注意到第四号在争论中没有任何作用。用一个而不是四个听起来是合理的。但其中有一条线索。可以验证的是，一次称重不足以从四枚硬币中找到一枚较轻的硬币。把两个硬币放在一个杯子里是行不通的；当一对一权衡时，有两枚硬币未被称重。两枚剩余的硬币扼杀了解决这个问题的所有希望。

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