节拍序列

让$r$为正数不合理的数字。设置$s=1/r，$并定义两个序列：$a_{n}=n（r+1）$和$b_{nneneneep=n（s+1）$，$n\gt0$

显然，这两个序列的所有项都是无理的。特别是，它们都不是整数。1926年Sam Beatty发现的一个显著定理指出，对于任何整数$N，$都只有一个来自于区间$（N，N+1）$中的并集$\{A_{N}\}\cup\{b_{N{}\}$的元素。

由于以下原因，这一特性非常显著。签署人定义对于非整数$\alpha，$$N\lt\alpha\lt（N+1）$与$\lfloor\alpha\floor=N.$相同。因此，Beatty定理断言，整个部分$\{lfloor-a_{N}\rfloor\}$和$\{lploor-b_{N{rfloor\}的序列的并集涵盖了自然数$\mathbb{N}={1，2，3，\ldots\}.$显示Beatty的序列$\{a_{n}$和$\{b_{n{}$是一件简单的事情$不相交除此之外，没有两个组合项属于同一区间$（N，N+1），\；$使用$N\；$整数：

$\{\lfloor a_{n}\rfloor}\cup\{\floor b_{nneneneep \rfloor\}=\mathbb{n}$和$\{\foor a_{n}\rffloor\}\cap\{lfloor b_{n}\ rfloor\}=\emptyset$

这意味着整个部分的序列在$\mathbb{N}.$中相互补充在这种情况下N个被称为互补序列，Beatty定理展示了一种生成这种互补序列的令人惊讶的方法。

让我们证明贝蒂定理。1927年，A.Ostrowski和A.C.Eitken发表了一份优雅的证明。该证明出现在Ross Honsberger的数学的灵巧性（MAA，1970，第94-95页）在读这本书时，我意识到贝蒂定理与前面讨论过的单位区间上分数分布问题有关在别处事实上，奥斯特洛夫斯基和艾特肯的证明很容易适应性强的对于后一个问题。当时很自然会问原始证据因为分数分布问题可能与贝蒂定理有关。

沿着这些线思考导致了一个奇怪的不等式，这为Beatty序列在数线上的分布提供了一些线索。

证明（贝蒂定理）

设N是一个整数。第一个序列的$\lfloor N/（r+1）\rfloor$项小于N。第二个序列的此类项为$\lfoor N/（s+1）\rploor$。由于$a_{n}$或$b_{n{$都不是整数，

(1)

$\begin{align}&N/（r+1）-1\lt\lfloor N/（r+1）\rfloor\lt N/（r+1）\\&N/（s+1）-1层N/（s+1）层N/。\结束｛align｝$

请注意

(2)

$\displaystyle\frac{1}{r+1}+\frac{1}{s+1}=\frac}{r+1}+\frac{1}}{\displaytyle\frac{1{r}+1}=\frac{1}}{r+1}+\frac{r}{r+1}=1$

将（1）相加，我们得到

$N-2\lt\floor N/（r+1）\floor+\floor N/（s+1）\ffloor N$

这意味着$\lfloor N/（r+1）\rfloor+\lfloorN/（s+1）\rploor=N-1.$将$N$替换为$N+1$，我们看到正好添加了联合$\{a_{N}\}\cup\{b_{N{}\}$中的一个项。这自然属于间隔$（N，N+1）$

注：在别处，这是Beatty定理的另一个证明。

让我们看看点$a_{n}$和$b_{n{$如何分布在数字线上。标记两个序列的所有点。我们对相邻的点对感兴趣。$a{n+1}$和$a{n}$之间的距离等于$r+1$，大于$1.$，第二个序列也是如此。这证明了在属于同一序列的任意两个相邻点之间总是有一个整数。

另一方面，如果点$a{n}$和$b_{m}$相邻，我们可以考虑线性组合$\alphaa{n{+\betab_{n}，$其中$\alfa、\beta\gt 0、$和$\alba+\beta=1.$所有这些组合都位于$a{n}$和$b_{m}.$之间鉴于（2），我们可以取$\alpha=1/（r+1）$和$\beta=1/（s+1）$。结果-$（n+m）$是一个介于$a{n}$和$b_{m}之间的整数$

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序列$\{a_{n}\}$和$\{b_{n{}$不相交。事实上，假设它们有一个共同的元素：$a_｛i｝=b_｛j｝$，或者明确地：$i（r+1）=j（s+1）$。注意，由于$rs=1$，

$\displaystyle\frac{r+1}{s+1}=\frac{r+1}{\displaytyle\frac{1}{r}+1}=\frac{r+1{（r+1）/r}=r$

因此，$i（r+1）=j（s+1）$意味着

$\显示样式r=\frac{r+1}{s+1}=\frac{j}{i}$

对于非理性$r$和理性$j/i，$是不可能的。

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