序列中的平均值

Cláudio Buffara和William McWorter,Jr。
2003年3月25日,星期二

设x1, ..., x个100是一个实数序列。假设对于每一个8项的子序列,都存在一个9项子序列,其平均值与8项的平均值相同。显示所有x都是平等的。

解决方案

该解决方案有4个步骤:

  1. 最初我们证明x1=x2= ... = x个9;
  2. 假设x是整数,我们证明了平均条件意味着序列是常数;
  3. 我们将结果推广到有理数x;
  4. 最后,我们使用以下事实R(右)(实数集)是上的向量空间(有理数集)建立实x的结果.

第1步

由于术语的顺序与问题无关,我们可以重命名x所以我们有:x1≤x2≤ ... ≤ x个100.

让我们考虑x1, ..., x个8称其平均值为M。

给定x的顺序,平均值最小的9个子集为{x1, ..., x个8,x个9}.

假设x9>M.然后[x1+ ... + x个9]/9=[8·M+x9]/9>M意味着其他9个子集的平均值将为>M。矛盾。因此,x个9≤M。

假设现在x1<x8.然后x1<M<x8.但自从x9≤M,我们有x8>x个9矛盾。因此,x个1=x8=M=x9.

因此,我们确定了x1= ... = x个8=x9.

第2步

如前所述,我们可以重新排序x以便x个1≤x2≤ ... ≤ x个100.此外,平均条件确实意味着x个1= ... = x个9.

减去x1从序列的每个元素中,然后除以任何公因数,我们得到一个新的非递减序列,如下所示:

    x个1= ... = x个9=0和
    LCM(x1, ..., x个100) = 1.

假设序列不是常数。在这种情况下,必须存在一个索引k,使得x个k=a>0,具有GCD(a,8)=1。然后a=8m+r,m为非负整数,r为{1, 3, 5, 7}.

考虑以下8项子序列:x1,x个2,x个,x个4,x个5,x个6,x个7,x个k。其平均值为a/8=米+r/8r在{1, 3, 5, 7}.

根据假设,存在一个9项子序列,其平均值也是m+r/8。

将9项子序列的项之和称为“n”(整数),我们得到:

    n/9=m+r/8,或n=9m+9r/8,

它不是整数,因为8不除以9r。矛盾。

因此,我们必须得出序列是常数的结论。

第3步

通过将所有项乘以所有分母的LCM,可以将项为有理数的情况简化为整数。因此,我们建立了任何具有有理项的100项序列的结果。

第4步

R(右)是上面的向量空间,必须有一组线性独立的实数(假设有n个元素),它生成序列的100个项(x). 换句话说,n集是R(右)由序列的条款跨越。

让这个基础为{r1,第个2, ..., 第页n个}.

因此,对于1≤i≤100,我们有:x=ai、 1个×r1+一个i、 2个×r2+ ... + i、 n个×rn个,其中i、 j个是唯一确定的有理数。

现在,x上的平均条件意味着对于每8个子集A{1, 2, ..., 100}有一个9子集B{1, 2, ..., 100}这样的话

    (1/8)×总和(A中的i)x=(1/9)×总和(B中的j)xj个.

表示x就基本要素而言,我们得到:

    (1/8)×总和(i in A)[Ai、 1个×r1+一个i、 2个×r2+ ... + i、 n个×rn个] =
    (1/9)×总和(B中的j)[aj、 1个×r1+一个j、 2个×r2+ ... + j、 n个×rn个],

以便

    [(1/8)×总和(i in A)Ai、 1个-(1/9)×总和(B中的j)aj、 1个]×r1
    +[(1/8)×总和(i in A)Ai、 2个-(1/9)×总和(B中的j)aj、 2个]×r2
    + ...
    +[(1/8)×总和(i in A)Ai、 n个-(1/9)×总和(B中的j)aj、 n个]×rn个= 0.

但是{r1,第个2, ..., 第页n个}是一个基(特别是,它是一个线性独立的集合)。因此,对于每个k(1≤k≤n):

    (1/8)×SUM(A中的i)Ai、 k-(1/9)×总和(B中的j)aj、 k个= 0.

因此,对于每个k(1≤k≤n)和每个8-子集A{1, 2, ..., 100}有一个9子集B{1, 2, ..., 100}这样:

    (1/8)×SUM(A中的i)Ai、 k=(1/9)×总和(B中的j)aj、 k个.

换句话说,对于每个k(1≤k≤n)序列{1,k, 2,k,...,100,千}满足平均条件。

但是,对于每个k(1≤k≤n)和每个i(1≤i≤100),ai、 k是理性的。

假设我们已经知道任何满足平均条件的有理数列都是常数,那么对于每个k(1≤k≤n),数列{a1,k,a2,k, ..., 100,千}是常量。

这反过来意味着所有x相对于基准具有相同的坐标{r(右)1,第个2, ..., 第页n个}.换句话说,序列{x1,x个2, ..., x个100}是常量。

解决方案的演变


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