序列中的平均值

Cláudio Buffara和William McWorter，Jr。
星期二，2003年3月25日

让x₁, ..., x个₁₀₀是实数序列。假设对于每一个8项的子序列，都存在一个9项子序列，其平均值与8项的平均值相同。显示所有x_我都是平等的。

解决方案

该解决方案有4个步骤：

1. 最初我们证明x₁=x₂= ... = x个₉;
2. 假设x_我是整数，我们证明了平均条件意味着序列是常数；
3. 我们将结果推广到有理数x_我;
4. 最后，我们使用以下事实对（实数集）是上的向量空间问（有理数集）建立实x的结果_我.

第1步

由于术语的顺序与问题无关，我们可以重命名x_我所以我们有：x₁≤x₂≤ ... ≤ x个₁₀₀.

让我们考虑x₁, ..., x个₈称其平均值为M。

给定x的排序_我，平均值最小的9个子集为{x₁, ..., x个₈，x个₉}.

假设x₉>M.然后[x₁+ ... + x个₉]/9=[8·M+x₉]/9>M意味着其他9个子集的平均值将为>M。矛盾。因此，x个₉≤M。

假设现在x₁<x₈然后是x₁<M<x₈.但自从x₉≤M，我们有x₈>x个₉矛盾。因此，x个₁=x₈=M=x₉.

因此，我们确定了x₁= ... = x个₈=x₉.

第2步

如前所述，我们可以重新排序x_我以便x个₁≤x₂≤ ... ≤ x个₁₀₀.此外，平均条件确实意味着x个₁= ... = x个₉.

减去x₁从序列的每个元素中，然后除以任何公因数，我们得到一个新的非递减序列，如下所示：

x个₁= ... = x个₉=0和
LCM（x₁, ..., x个₁₀₀) = 1.

假设序列不是常数。在这种情况下，必须存在一个索引k，以便x个_k个=a>0，具有GCD（a，8）=1。然后a=8m+r，m为非负整数，r为{1, 3, 5, 7}.

考虑以下8项子序列：x₁，x个₂，x个_三，x个₄，x个₅，x个₆，x个₇，x个_k个。其平均值为a/8=米+r/8r在{1, 3, 5, 7}.

根据假设，存在一个9项子序列，其平均值也是m+r/8。

将9项子序列的项之和称为“n”（整数），我们得到：

n/9＝m+r/8或n＝9m+9r/8，

它不是整数，因为8不除以9r。矛盾。

因此，我们必须得出序列是常数的结论。

第3步

通过将所有项乘以所有分母的LCM，可以将项为有理数的情况简化为整数。因此，我们建立了任何具有有理项的100项序列的结果。

第4步

自对是上方的向量空间问，必须有一组线性独立的实数（假设有n个元素），它生成序列的100个项（x_我). 换句话说，n集是对由序列的条款跨越。

让这个基础为{r₁，第个₂, ..., 第页_n个}.

因此，对于1≤i≤100，我们有：x_我=a_{i、 1个}×r₁+一个_{i、 2个}×r₂+ ... + 一_{i、 n个}×r_n个，其中一_{i、 j个}是唯一确定的有理数。

现在，x上的平均条件_我意味着对于每8个子集A{1, 2, ..., 100}有一个9子集B{1, 2, ..., 100}这样的话

（1/8）×总和（A中的i）x_我=（1/9）×总和（B中的j）x_j个.

表示x_我就基本要素而言，我们得到：

（1/8）×总和（i in A）[A_{i、 1个}×r₁+一个_{i、 2个}×r₂+ ... + 一_{i、 n个}×r_n个] =
（1/9）×总和（B中的j）[a_{j、 1个}×r₁+一个_{j、 2个}×r₂+ ... + 一_{j、 n个}×r_n个],

以便

[（1/8）×总和（i in A）A_{i、 1个}-（1/9）×总和（B中的j）a_{j、 1个}]×r₁
+[（1/8）×总和（i in A）A_{i、 2个}-（1/9）×总和（B中的j）a_{j、 2个}]×r₂
+ ...
+[（1/8）×总和（i in A）A_{i、 n个}-（1/9）×总和（B中的j）a_{j、 n个}]×r_n个= 0.

但是{r₁，第个₂, ..., 第页_n个}是一个基（特别是，它是一个线性独立的集）。因此，对于每个k（1≤k≤n）：

（1/8）×SUM（A中的i）A_{i、 k个}-（1/9）×总和（B中的j）a_{j、 k个}= 0.

因此，对于每个k（1≤k≤n）和每个8-子集A{1, 2, ..., 100}有一个9子集B{1, 2, ..., 100}这样：

（1/8）×SUM（A中的i）A_{i、 k个}=（1/9）×总和（B中的j）a_{j、 k个}.

换句话说，对于每个k（1≤k≤n）序列{一_1，k, 一_2，k,...,一_100，千}满足平均条件。

但是，对于每个k（1≤k≤n）和每个i（1≤i≤100），a_{i、 k个}是理性的。

假设我们已经知道任何满足平均条件的有理数列都是常数，那么对于每个k（1≤k≤n），数列{a_1，k，一个_2，k, ..., 一_100，千}是常量。

这反过来意味着所有x_我相对于基准具有相同的坐标{r（右）₁，第个₂, ..., 第页_n个}.换句话说，序列{x₁，x个₂, ..., x个₁₀₀}是常量。

解决方案的演变

• 2003年3月25日，星期二
• 2005年7月16日星期六
• 2006年1月23日星期一

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