另一个简单积分

以下是对所讨论的某些定积分计算技术的最新推广不久前这里的讨论是一篇文章的汇编懒惰学生积分作者：Gregory Galperin和Gregory Ronsse(数学杂志，v 81，n 22008年4月，第152-154页）。

假设你被要求计算积分

$\显示样式I（\alpha）=\int_{0}^{\infty}\frac{dx}{（1+x^{\alpha}）（1+x^{2}）}$

作为$\alpha.$的函数您可能会发现替换$x=\tan\theta$会导致

(1)

$\显示样式I（\alpha）=\int_{0}^{\pi/2}\frac{\cos^{\alpha}\theta\，d\theta}{\cos ^{\alpha}\ttheta+\sin^{\阿尔法}\theta}$

我们拥有的那种积分以前考虑过因此我们知道后一个积分只是普通的$\pi/4，$独立于$\alpha！$作为一个好奇心，在代换$u=1/x之后，我们将以不同但仍然简单的方式获得相同的结果

$\显示样式I（\alpha）=\int_{0}^{1}\frac{dx}{（1+x^{\alpha}）（1+x^{2}）}+\int_}0}^}1}\frac{u^{\alpha}du}{$

为$I（\alpha）$添加两个表达式会得到

$\显示样式I（\alpha）=\int_{0}^{1}\frac{dx}{1+x^{2}}=\ frac{\pi}{4}$

如预期。

总的来说，积分的独立性(1)$\alpha$的值表明积分可能比我们看到的要多。事实上(1)与积分属于同一类

$\显示样式\int_{-3}^{3}\frac{\sin^{3} x个\，dx}{\sqrt{1+x^{2}}+\cos2x}=0$

或

(2)

$\displaystyle\int_{0}^{10}\frac{（3+x^{\sqrt{7}}）dx}{6+x^{\sqrt{7}}+（10-x）^{\scrt{7}{=5$

你明白为什么一个是0美元，另一个是5美元吗事实上，这两个问题几乎都是直接的，只需要一点理论。

设$f:\，[0，a]\rightarrow\mathbb{R}$是任意连续函数。替换$u=x-a$以获得

(3)

$\显示样式\int_{0}^{a} （f）（x） dx=\int_{0}^{a} （f）（a-u）都$

如果您注意到替换只是反映了$x=a/2中的函数$f$，那么这一点就显而易见了。现在假设$f$满足以下条件对称条件

$f（x）+f（a-x）=1$

然后将积分加到(3)说明了这一点

$\显示样式\int_{0}^{a} （f）（x） dx=\压裂{a}{2}$

为了使该方法通用，我们只需要找到更多符合对称条件的函数$f$。这也很简单。所有这些函数都可以从

$\显示样式f（x）=\ frac{g（x）}{g（x）+g（a-x）}$

其中$g$是$[0，a]$上的任何连续函数，对于该函数，上述分母不为零。任何满足对称条件的函数$f$都以这种形式出现，其中$g=f！$特别地，(2)在$g（x）=3+x^{\sqrt{7}}$时获得(1)后跟$\sin（x）=\cos（\pi/2-x）。$但我们更普遍地看到

$\显示样式\int_{0}^{\pi/2}\frac{f（\cosx）}{f（\sinx）+f（\COsx）{=\frac{\pi}{4}$

对于定义在$[0,1]$上的任何连续函数$f$，使得上述被积函数的分母不为零。

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