利用欧拉乘积公式求素数的无穷大

1737年，L.Euler发表了一篇论文，其中除其他外，他导出了一个公式，指出调和级数和素数之间的奇妙联系：

$\显示样式1+\frac{1}{2}+\frac}1}{3}+\frac{1}}{4}+\fras{1}5}\ldots=\frac{2\cdot3\cdot5\cdot7\cdot11\cdot\ldots}{1\cdot2\cdot 4\cdot6\cdot10\cdots\ldots}$

可以用现代简洁的符号表示为

(*)

$\displaystyle\sum_｛n=1｝^｛\infty｝\frac｛1｝｛n｝=\prod_｛p｝\frac｛p｝｛p-1｝=\prod_｛p｝\frac｛1｝｛1-1/p｝$

其中乘积覆盖所有素数。

严格来说，公式（及其推导方式[邓纳姆，65-70]）没有意义调和级数左边是发散的不过，这对Euler来说确实有意义。1876年，利奥波德·克罗内克证明

$\显示样式\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^s}=\prod_{p}\frac{1}{1-p^{-s}}$

$s\gt 1，$，然后将Euler公式解释为传递到右侧极限$s\rightarrow 1^{+}的结果$

是非，欧拉公式(*)具有迫在眉睫的直觉吸引力。右边乘积中的每个因子都是一个几何级数的和：

$\显示样式1+\bigg（\frac{1}{p}\big）+\big（\frac{1}}{p{bigg）^2+\bigg（\frac{1}{p}\ big）^3+\ldots=\frac}{1-1/p}$

因此，公式可以重写为，

$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}=\prod_{p}\sum_{k=0}^{\ infty{\frac{1}}{p^k}=\prod_{p}（1+\frac}{p}+\frac{1}{p^2}+\frac{1{p^3}+\ldot）$

要执行右边的乘法，我们需要从乘积中的每一个因子的和中提取一个项，因为每个整数都允许一个唯一的素因子分解，每个整数的倒数都将以这种方式获得-每个正好一次。

我们可以利用这个概念来证明素数的无穷大。事实上，假设素数的数量是有限的。那么右边的积是有限的。但乘积展开为调和级数，即所有整数的倒数级数，它也应该是有限的，但我们知道它不是矛盾的。

参考

71685319