斯伯纳定理

我们知道如果一个n集的子集超过一半A类已选定，则必须至少有两个，其中一个包含另一个。这一点在鸽子洞原理下面我们证明了一个更强大的结果——斯伯纳定理。看起来一半太多了；没有必要接受这么多的子集。

A系列B类集合的非空子集A类被称为反链（或杂乱或斯珀纳系统)英寸A类如果没有设置B类（正确地）包含在中的另一个集合中B类.

证明对于一个n集A类，中任何反链中的集合数A类不能超过C（n，n’），哪里n’=[（n+1）/2]。

提醒一下，C（n，m）是一个二项式系数

出现在二项式定理对于整数指数，可以写成

（x+y）^n个=C（n，0）x^n个+C（n，1）x^n-1个y+C（n，2）x^n-2个年²+ ... + C（n，n）y^n个

对于偶数n，有奇数个二项式系数和中间系数C（n，n’）对应于n’=无。对于n个奇数，系数的数目是偶数，并且有两个相等的系数，其中一个对应于n’=（n-1）/2另一个去n’=（n+1）/2。对于偶数n，[（n+1）/2]=n/2，其中[]表示“整数部分”。

此时，我将假定单峰的二项式系数序列的行为：C（n，k）不会随着k的变化而减少k=0到k=n’之后不会增加。因此，对于任意n，C（n，n’），具有n’=[（n+1）/2]是最大的二项式系数：

对于所有0≤k≤n，C（n，k）≤C（n、n’）。

C（n，k）是从n中选择k个（无序）元素的方法的数量。因此，在任何反链中，所有集合都具有相同数量的元素的集合的数量在上面以C（n，n’）。

n集上的最大链A类是序列X₀，X₁,... ,X（X）_n个的子集A类这样，对于所有i卡（X_我),基数或集合X中的元素数_我，是i；和X（X）_我⊂X_{i+1（输入+1）},对于i=0。。。，n-1。显然，有一个1-1通信在集合的置换之间A类及其最大链：任意置换 {x₁x个₂…x个_n个}产生最大链

⊂{x₁}⊂{x₁，x个₂} ⊂ ... ⊂ {x₁，x个₂, ..., x个_n个} =A类

反之亦然。让B类={B₁，B₂,...,B类_t吨}成为反链分子A类，使用卡（B_我)=b_我, i=1。。。，t。根据定义A类-maximum或not-最多可以包含集合B中的一个_我.现在，有b个_我! 的方式形成从Ø到B的链条_我，并且有（n-b）_我)!将此链扩展到最大链的方法。因此，包含集合B的最大链的数量_我是b条_我！（n-b）_我)!.因此，我们有不平等

假设基数{b_我}有p₁1秒，p₂2秒。。。，对_n个n。所以p_k个s是求和为t的非负整数。前面的不等式可以重写为

这被称为卢贝尔-山本-梅沙尔金（LYM）不等式。从这里可以立即看出

或t≤C（n，n’）。

工具书类

V.K.Balakrishnan，组合数学的理论与问题，Schaum的大纲系列，McGraw-Hill，1995年

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