平面2-染色中的单色矩形

如果平面的每个点都是红色或蓝色，那么某些矩形的顶点都是相同的颜色。

如果平面的每个点都是红色或蓝色，那么某些矩形的顶点都是相同的颜色。

画三条水平线。我们会找到一个矩形，其中两个上面有顶点。其他边是垂直的。在与三条水平线的交点处，每条垂直线都有三个候选点作为所需矩形的顶点。

三个点可以用8种不同的方式用2种颜色着色。所以，如果你选择9条垂直线，一定会有三个点以相同的方式着色。选择任意两个以相同方式着色的三元组-这将为您提供垂直边。在任何三元组中，至少有两个点具有相同的颜色。选择两个这样的-这会给你水平的侧面。

这个问题扩展到寻找尺寸不断增大的矩形网格。例如从5条水平线和41条垂直线与两种颜色的点的交点中，可以提取出3条垂直线和3条水平线，所有9条交点的颜色都相同。

要解决这个问题，请注意，在任何5个点中，至少有三个点必须具有相同的颜色。对于给定的五点，我们称之为“主导”。

因此，在5条水平线与一条垂直线的每一个相交处，我们都可以选择一种主色。有41条线，只有两种颜色可供选择，我们必须能够找到21条（共41条）垂直线，它们与给定的5条水平线的交点具有相同的主色。称此颜色为首选颜色。

在5×21个交点中，只考虑首选颜色的交点。在21条垂直线上的每一条上至少有3条这样的线。只有10=C（5，3）从5项中选择3项的方法。在一个由10个元素组成的21个可能选项的集合中，至少有一个选项必须包含至少3次。这些选项位于至少3条垂直线上，并位于至少3根垂直线上。

一个更一般的问题要求用c色着色的阵列的尺寸X×Y，以确保A×A单色子阵列的存在。答案由两个公式给出：

X=c·（a-1）+1，
Y=c·（a-1）·c（c·（a-1）+1，a）+1。

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