$ab+bc+ca\le aa+bb+cc$

三变量循环不等式

• ab+bc+ca不超过aa+bb+cc
• 三元循环不等式$\左（\显示样式\frac{a^3}{b^2（5a+2b）}+\ frac{b^3}}{c^2（2b+2c）}+\frac{c^3}{a^2（3c+2a）}\ge\frac}{7}\右）$
• 三元循环不等式II$\ left（\显示样式\ frac{10a^3}{3a^2+7bc}+\ frac}10b^3}}{3b^2+9ca}+\ frac{10c^3}{3a*2+7ab}\gea+b+c\ right）$
• 三元循环不等式III$\左（\displaystyle\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{c+a}}+\sqlt{\frac}{a+b}}\ge2\right）$
• 三元循环不等式IV$\左（\显示样式2\sum_{cycle}（a+b）^3+5\sum_{cycle}循环^第21页第3页_{cycle}循环^2b\右）$
• 三元V中的一个循环不等式$\left（\显示样式\frac{a}{b}+\frac}{c}+\frac{c}{a}\ge\frac{\sqrt{3（a^2+b^2+c^2）}\cdot（a+b+c）}{ab+bc+ca}\right）$
• 三变量VI中的一个循环不等式$\left（显示样式\frac{2（a+b+c）}{abc}\ge\sum_{cycle}\left$
• 三元循环不等式VII$\左（\显示样式\总和_{循环}x\sqrt{x^2z^2+y^4}\ge\sqrt{2}\sum_{循环}xz\sqrt（右）$
• 三元循环不等式VIII$\left（显示样式\sum_{cycle}（x^2+y^2）z+\sum_{cycle}\frac{xy}{（x+y）^2}\ge 27xyz\right）$
• 三元循环不等式IX$\left（\显示样式9\左（\sum_{cycle}\frac{x^2}{y^2}\右）^2\ge 8\左（\sum_{cycle}\frac{x}{y}\右$
• 三变量X中的一个循环不等式$\左（\显示样式\sum_{cycle}\frac{1}{（a+1）^3}+4\sum_{cycle}\frac{1}{（a+1）^4}\ge\ frac{9}{8}\right）$
• 三变量中的一个循环不等式XI$\left（显示样式\sum_{cycle}\frac{1}{（a^2-ab+b^2）（b^2-bc+c^2）}\le\sum_{cycle}\frac{1}{a^4}\right）$
• 三元循环不等式XII$\left（\displaystyle\left（\sum_{cycle}\frac{1}{（a^2-ab+b^2）^6}\right）^2\le3\sum_}cycle}\ left（\frac{a+b}{a^2+b^2}\rift）^{24}\ right）$
• 三元循环不等式XIII$\左（\显示样式\sum_{cycle}\frac{a^2+b^2}{a+b}+11\sum_}cycle}\frac{ab}{a+5}\gt 6\sum{cycle{sqrt{ab}\right）$
• 三元循环不等式XIV$\left（\显示样式\sum_{cycle}\frac{xy}{xy+y^2+zx}\le1\right）$
• 三元XV中的一个循环不等式$\left（显示样式\frac{a（a^2+b^2）}{a^3+b^3}+\frac}b（b^2+c^2）{b^3+c^3}+\frac{c（c^2+a^2）｝{c^3+a^3}\leq\sqrt{\frac_a}{b}}+\sqrt{\frac}{c}}+\sqrt{c}{c{c}$
• 三元XVI中的一个循环不等式$\左（\显示样式\sum_{cycle}|（a+b）（1-ab）|\t\frac{3}{2}+\sum_{cycle}循环^2+\压裂{1}{2}\总和_{cycle}循环^4\右）$
• 三元循环不等式XVII$\left（\displaystyle\left（\sum_{cycle}\frac{x^2}{y^2}\right）^5\ge 9\left$
• 三变量中的一个循环不等式XVIII$\left（\displaystyle\left（\sum_{cycle}\sqrt{ab}\right）^6\le27\prod_{cycle{（a^2+ab+b^2）\right$
• 三元循环不等式XIX$\左（\显示样式\压裂{x}{（y+z）^3}+\压裂{y}{$
• 三元XX中的一个循环不等式$\left（显示样式5\sum_{cycle}\sqrt{ab}\le\sum_{cycli}\sqrt[4]{（a+4b）（2a+3b）（3b+2a）（4a+b）}\le5\right）$
• 三元循环不等式XXI$\left（\显示样式\frac{abc}{7\sqrt{7}}\le\prod_{cycle}\frac}a^2-ab+b^2}{\sqrt{a^2+5ab+b*2}}\right）$
• 三元循环不等式XXII$\left（\显示样式\sum_{cycle}\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}\ge\frac}a+b+c}{3}\right）$
• 三元循环不等式XXIII$\left（\显示样式3（a^2+b^2+c^2）^2\ge 8abc（a+b+c）+sum_{cycle}（a^2+b^2-c^2，^2\right）$
• 三元循环不等式XXIV$\left（显示样式\sum_{cycle}\frac{a^2b^2（1+a^2）（1+b^2）}{（1+a）（1+5）}\geq4（3-2\sqrt{2}）abc（a+b+c）\right）$
• 三元循环不等式XXV$\left（\显示样式\sum_{cycle}（a-\sqrt{ab}+b）^2\cdot\sum_{cycle}（a^2-ab+b^2）^2\ge 9a^2b^2c^2\right）$
• 三元一元循环不等式$\左（\显示样式\左（\sum_{循环}x^｛2m+2｝\right）\cdot\left（\sum_｛cycl｝\frac｛1｝｛（x+y）^｛2m+2｝｝\right）\ ge\frac｛9｝｛4^｛m+1｝｝\right）$
• Dorin Marchidanu的三变量循环不等式$\left（\显示样式\sum_{cycle}\sqrt{a^2-ab+b^2}\sqrt{b^2-bc+c^2}\gea^2+b^2+c^2\right）$
• 三变量中的Dorin Marchidanu循环不等式II$\left（\显示样式\sum_{cycle}\frac{ab}{（a+c）（b+c）}\ge\frac{3}{4}\right）$三变量中的Dorin Marchidanu循环不等式III$\左（\显示样式\压裂{a^3}{b^2+c}+\压裂{b^3}}{c^2+a}+\裂缝{c^3}{a^2+b}\gt\裂缝{3}{2}（abc）^{裂缝{2}{3}}\右）$
• Leo Giugiuc的三变量循环不等式$\左（\显示样式a^2+b^2+c^2\ge3\sqrt[3]{压裂{1}{4}（a-b）^2（b-c）^2$
• Tran Hoang Nam的三元循环不等式$\left（\显示样式\sum_{cycle}（a-b）^3（a-c）^3\le\ left（\sum_{cycle}循环^2-\总和_{循环}ab\右）^3\右）$
• 具有平方根的循环不等式$\左（\显示样式2\sqrt{2}\sum_{循环}xy\ge\sqrt{2xyz}\sum_{cycle}\sqrt}x}+\sum_}cycle}\sqrt{x^2z^2+y^2z|2}\right）$
• 对数循环不等式$\left（\displaystyle\ln\left（a^b\cdot b^c\cdot c^a\right）+6\sum_｛cycl｝\frac｛b（1+2a）｝｛1+4a^2｝\ge 3（a+b+c）\right）$
• 一个具有多个和的循环不等式$\左（\显示样式\小{\左（\sum_{cycle}循环^4\右）\左（\sum_{cycle}\frac{a}{b}\right）\left（\sum_{cycle}循环^3\右）\左（\sum_{cycle}\压裂{a}{c}\右）\left（\sum_{cycle}循环^2\右）\ge\左（\sum_{cycle}循环\右）^3\左（\sum_{cycle}\frac{1}{a}\right）^2}\右）$
• Dan Sitaru的三变量循环不等式III$\left（显示样式4\sqrt{\sum_{cycle}\frac{a}{（a-1）^2}}\ge\sqrt{6}（10-a-b-c）\right）$
• Imad Zak的三元循环不等式$\左（\显示样式\frac{（a+b+c）^2}{ab+bc+ca}+\ frac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2}\ge4\右）$
• 三变量中的Imad-Zak循环不等式Ⅱ$\左（\显示样式\frac{ab+bc+ca}{（a+b+c）^2}+\ frac{a^2+b^2+c^2}{ab+b+ca}\ge\frac}{3}\right）$
• 一个简单的三变量循环不等式$\左（\显示样式3\左（\sum_{cycle}循环^2\right）^2\ge 8abc（a+b+c）+\sum_{cycle}（a^2+b^2-c^2）^2\right）$
• 两边有循环和的不等式$\左（\显示样式\sum_{cycle}\frac{a^9}{b^6c^2}\ge\sum_{cycli}\sqrt[6]{\frac}a^{28}}{b^{17} c（c）^5} }\右）$
• 两边有循环和的不等式II$\左（\displaystyle\sum_{cycle}\sqrt[6]{ab^2c^3}\ge\sum_{cycle}\sqrt[30]{a^{9} b条^{10} c（c）^{11} }\右）$
• 两边有循环和的不等式Ⅲ$\left（显示样式\frac{x^6z^3+y^6x^3+z^6y^3}{x^2y^2z^2}\geq\frac}x^3+y*3+z^3+xyz}{2}\right）$
• 具有可变层次的三元循环不等式$\左（\显示样式2（x^2y+y^2z+z^2x+xyz）\ge（x+y）（y+z）（z+x）\右）$
• Dan Sitaru的三变量循环不等式$\左（\显示样式\压裂{（5a+b）（5b+c）（5c+a）}{27（a+8c）（b+8a）（c+8b）}\geq\压裂{8abc}{（5 a+4b）（5 b+4c）（5 c+a）}\右）$
• 三变量V中的Dan Sitaru循环不等式$\left（\显示样式（x+y+z）^2\le\sum_{cycle}\sqrt{（x^2+xy+y^2）（y^2+yz+z^2）}\right）$
• Dan Sitaru的三变量循环不等式VII$\left（\displaystyle\frac｛5x+3y+z｝｛5z+3y+x｝+\frac｛5y+3z+x｝｛5x+3z+y｝+\frac｛5z+3x+y｝｛5y+3x+z｝\ge 3\right）$
• 美国数学月刊的11867题$\显示样式\左（\左（\frac{a^2}{a^2-ab+b^2}\右）^{\frac}1}{4}}+\左（\frac{b^2{b^2-bc+c^2}\right）^{\frac{1}{4]}+\右（\frac{c^2{c^2-ca+a^2{\右）$
• 1967年国际海事组织入围名单中的不平等现象$\ left（\显示样式\ frac{1}{a}+\ frac}1}{b}+\压裂{1}}{c}\le\压裂{a^8+b^8+c^8}{a^3b^3c^3}\right）$
• 不平等的产生$\显示样式\左（3（a^2+b^2+c^2）^2\ge 24abc\sqrt[3]{abc}+\sum_{cyc}（a^2+b^2-c^2，^2\right）$
• 三变量中的一个简单不等式$\显示样式\左（\sum_{cyc}交流\左（\frac{1}{2a+b}+\frac}{2c+b}\right）\le\sqrt{3（a^2+b^2+c^2）}\rift）$
• Marian Cucoanes的三元循环不等式$\显示样式\左（\prod_{cycle}（\sqrt{（a+b）（a+c）}-\sqrt{bc}）\ge-abc\right）$
• 红越不平等IV$\左（\显示样式\sum_{cycle}\frac{1}{a+5b}\ge\sum_{cycle}\frac{1}{a+2b+3c}\right）$
• 带反正切的循环不等式$\left（\displaystyle4\sum_｛循环｝ab\cdot\arctan\frac{c}{b}\le\pi\sum_{cycle}循环^2\右）$
• 幂为2到7的循环不等式$\left（显示样式\sum_{cycle}\frac{（a^7+b^7）^3}{（a ^4+b^4）（a ^5+b^5）（a^6+b^6）}\ge 3a^2b^2c^2\right）$
• 一个四次长循环不等式$\左（\显示样式4\cdot\sum_{循环}ab\cdot \总和_{cycle}循环-\左（\sum_{cycle}循环\右）^3\ge\frac｛\displaystyle3\sum_{循环}ab\左[4\sum_｛循环｝ab-\左（\sum_{cycle}循环\右）^2\right]}{\displaystyle\sum_{cycle}循环}\右）$
• 1964年第六届国际海事组织的循环不平等$\左（\显示样式\总和_{cycle}循环^2（b+c-a）\le 3abc\right）$
• 数学现象中的不等式$\ left（\显示样式\ frac{a^{2n+1}}{\sqrt{bc}}+\ frac}b^{2n+1}}{\sqrt{ac}}+\frac{c^{2n+1}}}{\ sqrt}ab}}\gea^2n}+b^{2}+c^{2 n}\ right）$
• 数学现象中的一个循环不等式$\left（显示样式\frac{1}{a（b+c）}+\frac}1}{b（c+a）}+\frac{1}}{c（a+b）}\ge\frac{12}{（a+b+c）^2}\right）$
• 带积分的三角不等式$\左（\小{\欧米茄（a，b）+\欧米加（b，c）+\欧米茄（c，a）\le\sqrt{2}（a^2+b^2+c^2），\；\欧米茄（a，b）=\int_a^{2a}\int_b^{2b}|\sin（x-y）\cos（x+y）-\sin（x+y）|dxdy}\right）$
• Uche E.Okeke提出的三元循环不等式$\左（\显示样式\frac{（a+b）（b+c）（c+a）}{2}\ge-abc+\frac{（ab+bc+ca）^2}{a+b+c}\右）$
• 问题4142来自Crux Mathematicorum$\displaystyle\left（\Biger（1+\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca}\Biger）^{\frac}（a+b+c）^2}{a^2+b^2}}\leq\Biger$
• Dorin Marchidanu的双面不平等$\left（\displaystyle\sqrt｛2｝\le\sum_｛cycl｝\frac｛b+c｝｛a+\sqrt｛2（b^2+c^2）｝\le 2\right）$
• Sorin Radulescu提出的三元循环不等式$\左（\显示样式\左[\总和_{循环}x（y-z）^2\right]^3\ge 54\prod_{循环}x（y-z）^2\右）$
• 2017年加拿大MO的问题1$\左（\显示样式\左（\frac{a}{b-c}\右）^2+\左（\frac{b}{c-a}\右$
• 一个简单的循环不等式及其注记$\左（\显示样式1\le\frac{a}{a+b}+\ frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}\le2\right）$
• 印度在三个变量及更多变量中的循环不平等$\left（\显示样式\sum_{cycle}\sqrt{a^4+a^2b^2+b^4}+（6-\sqrt{3}）\sum_{循环}ab\第2格\左（\sum_{cycle}循环\右）^2 \右）$
• Dan Sitaru的三变量循环不等式VIII$\left（\显示样式（xy+yz+zx）\sum_{cycle}\sqrt{x^2+xy+y^2}\le3\sqrt{\prod_{cycle{（x^2+8y^2）}\right）$
• Hadamard行列式不等式及其应用I$\左（（2-a-b-c+abc）^2\le（a^2+2）$
• 具有两个三元组变量的不等式II$\左（\显示样式\小{ax+by+cz+\sqrt{\左（\sum_{cycle}循环^2\右）\左（\sum_{循环}x^2\右）}\ge\frac{2}{3}\左（\sum_{cycle}循环\右）\左（\sum_{循环}x\右）}\右）$
• 两个循环不等式$\左（\displaystyle\frac{1}{a（1+b）}+\frac{1'{b（1+c）}+\frac{1}}{c（1+a）}\ge\frac{3}{1+abc}\right），$\左bigg（\压裂{a}{M}+\压裂{M}{S}+\裂缝{S}{a}\bigg）\\&\ge\frac{3（a+1）（M+1）（S+1）}{AMS+1}\end{align}\right）$
• 纪晨不等式$\ left（\显示样式（xy+yz+zx）\ left$
• 一个四次循环不等式$\left（\显示样式a^4b+b^4c+c^4a+2（a+b+c）\ge\sqrt{3}（ab+bc+ca）\right）$
• 不等式多一点代数，推广少一点微积分$\left（\displaystyle\sum_｛cycl｝（a-b）\cdot\left（\frac｛a｝｛b｝\right）^n\ge\sum_｛cycl｝（a-b）\cdot\frac｛a｝｛b｝\right）$
• 三元循环不等式XXVI$\left（显示样式\sum_{cycle}\frac{（x+y）^4+1}{（x+y）_6+1}\le\frac}{1}{2}\left）（\frac[1}{x}+\frac@1}{y}+\frac{1}}{z}\right）\right$
• 多林·马尔基达努的权力与互惠不平等$\left（\显示样式\sum_{cycle}\frac{a}{a^2bc+b^4+c^4}\le\frac{1}{abc}\right）$