数字是什么？

当我考虑到人们通常想要计算什么时，我发现它总是一个数字。

穆罕默德·本·穆萨（Mohammed ben Musa al-Khowarizmi）。
发件人数学宝库，第420页
H.O.Midonick先生
哲学图书馆，1965年

个人就是他自己，他具有的意义与其说是凭借他的个性，不如说是作为一个伟大人类社会的成员。。。。

阿尔伯特·爱因斯坦。
发件人想法和意见，第15页
Wings图书，

套用阿尔伯特·爱因斯坦（Albert Einstein）的话，一个数字本身没有意义，只值得指定为数由于它是具有一些共同特征的对象组的成员。数字最常见的特点是可以相加和相乘，以产生组中的其他数字。然而，并不是所有可以补充或倍增的被指定为数字。

事实上，有很多不同种类的数字。

让我们依次讨论一下这些问题。

理性和无理数

如果数字r可以写成分数，那么它就是有理数r=p/q其中p和q都是整数。实际上，每个数字都可以用许多不同的方式书写。为了合理，一个数字应该在至少一个分数表示。例如，数字

((√5+ 1)/2)2+ ((√5- 1)/2)2

乍一看可能不合理，但它简化为3，即3=3/1有理分数。另一方面，数字√5它本身是不理性的，被称为非理性的。这决不是无理数的定义。在数学中，不合理的东西不一定是非理性的。非理性是指一种非常特殊的数字。然而，有些数字既不合理也不合理（例如，无穷小数字既不合理也不合理）。算术涵盖了有理数理论的大部分范围。其中一大部分属于代数。无理数理论属于微积分。

只使用算术方法很容易证明√5是不合理的。只是提醒一下，√5代表平方等于5的数字。因此，算术可以表明，当平方时，没有一个有理数给出5。用算术推导出这样一个数字实际存在是不可能的。

证明没有有理数r=p/q， （p/q）2= 5

假设有理数r的存在第页2= 5.在代表中r=p/q假设p和q互素，即没有公约数。在这种情况下，分数p/q称为不可约。问每一个有理数是否都有不可约表示是一个非常合理的问题。看看你是否知道足够的知识来回答这个问题。

因此5q2=p2所以p2可以被5整除。5是一个质数（它除了自身和1之外没有其他除数）。因此，我可以通过以下方式使用一个定理欧几里德（Elements，VII.30）（另请参见参考[2])声称由于5是p的一个因子2它还除以p，即。p=5秒。将此替换为第5季度2=p2除以5等于q个2=5秒2.同样地，q也可以被5整除，这使得分数p/q可约的矛盾。

（实际上，对于任何整数n，它不是另一个整数的平方，√n个 是不合理的上述证明通常用于证明√2。这是因为√2，成为对角线长度在单位平方中，第一个数字被证明是不合理的。事实上有很多方法以不同程度的直观吸引力来确立这一结果。）

直观地显示数字√5应该存在。确实，应用勾股定理到边为1和2的直角三角形。然后（斜边）2= 12+ 22= 5.因此存在长度应相等的线段√5否则，它还可能等于什么？正如我已经提到的，引入无理数需要使用算术以外的方法。观察这个例子所反映的数学的特征统一性是很有趣的。在算术中，我们提出并成功地解决了各种问题，直到我们无意中要求解一个看起来很天真的方程x个2= 5.然而，算术证明无法求解方程。几何学表明应该存在解决方案。微积分实际上解决了这个问题。

正如数学中经常出现的情况一样，有很多方法可以定义无理数。我们将使用建议的那个康托（1845-1918），现代集合论之父。顺便说一句，坎托的博士论文的标题是“在数学中，提问的艺术比解决问题更有价值。”参考文献[4])

在没有给出严格定义的情况下，让我说康托将无理数定义为极限有理数收敛序列（参见参考文献[1]). 这个想法很直观。为了简单起见，我只处理数字介于0和1之间。从写理性开始小数1/5 = 0.2, 3/8 = 0.375, 1/3 = 0.333..., 1/7=0。142857.如您所见，一些有理数被写成有限的小数（1/5和3/8）。给别人写信将采用无限数字序列。这就是我们在十进制展开式中写省略号的原因1/3. 你写的3s越多，十进制分数就越接近1/3，但没有有限扩展精确等于1/3。如果是1/7括号，则指定一个句点。换句话说，十进制扩展1/7 = 0.142857142857142857142857...-周期142857无限期地重复。1/7的展开也需要无限的数字序列。用数学术语来说，1/7是这个收敛序列的极限

一1=0.1，a2=0.14，a三= 0.142, ...

序列收敛是因为|1/7-年n个| < 10-n个它只声明了一个显而易见的事实是，任何以n0开头的分数0……都应该小于第n位有1的分数。但这对于任意的数字序列是正确的，不一定是周期性的。因此，康托研究了这种十进制展开式，并观察到周期展开式对应有理数，而非周期展开式则对应(根据他的定义)到无理数。请注意，每个数字序列都对应于一个收敛的有理数序列，因此，它代表一个有理数或无理数。（我们将讨论正数。任何数字序列都由一个非递减的有理数序列表示。此类序列的小数部分由序列.9、.99、.999……中的一个项限定。因此，小数部分的极限为.999... = 1）

引理1

  1. 在任意两个不同的有理数a和b之间，至少有一个其他的有理数字。
  2. 在任意两个不同的无理数a和b之间，至少还有一个其他的有理数。
  3. 在任意两个不同的有理数a和b之间，至少还有一个其他的无理数。
  4. 在任意两个不同的无理数a和b之间，至少还有一个其他无理数。

推论

在所有四个语句中，可以用无穷多个数的存在性来取代对单个数存在性的断言。

引理1的证明

  1. a<（a+b）/2<b和（a+b）/2是有理的。

  2. 让两个无理数a和b的十进制展开式（a<b）第一个差异是n第个数字。考虑数字bn个通过剪切n后面的所有数字从b获得第个.然后a<bn个<b。当然，作为一个有限的十进制展开式，bn个是有理数。

  3. 让两个有理数a和b的十进制展开式（a<b）第一个差异是n第个数字。然后，如前所述，考虑bn个:a<bn个<b。假设b在n之后有非零数字第个考虑一下如果没有修改证据，该如何修改。让b米是b后面的第一个非零数字n个.附加到bn个 m-n个零，然后是任意数字序列。每次你附加一个数字，你就会在a和b之间得到一个新的有理数。序列收敛到a和b的极限。如果你努力避免周期序列，那么这个极限就是无理的。

    威尔·罗斯提出了一种不同的生长b的方法n个变成一个无理数。选择任何已知的无理数r。可能是因为2的平方根、e、π或任何其他无理数。由于两个有理数的乘积是有理数，r·10M（M）对于任何整数M，都必然是无理的。取N大到r·10-N个小于b米10-米。然后使用此数字代替上述随机选择。

    (旁白：号码1234567891011121314151617181920212223是周期性的吗？）。

  4. 证明是对上述内容的一种变通。

理性和非理性的数字统称为实数。因此，实数是理性的或非理性的。（顺便说一下，伊恩·斯图尔特质疑调用无理数的智慧真实的：如果你甚至不能完整地写下来，事情怎么可能是真实的？）从引理1可以看出，有理数和无理数在实数集合中扮演着对称的角色。康托的众多贡献之一是证明了存在各种各样的无穷大。虽然有无限多的有理数和无限多的无理数是真的，但在定义明确的意义上，无理数比有理数更多。

康托从对象的计数或枚举将有限集带入1-1通信整数集的有限段。当你说你有两只手时，你的意思是可以把数字1分配给一只手，把数字2分配给另一只手。对吗？这是你的意思吗？康托应用了1-1通信到无限集，例如整数集、有理数集、无理数集或实数集。

随着1-1对应的概念出现了不少惊喜。（事实上，中世纪的思想家已经知道处理无穷大会带来惊喜，参见参考文献[3].同时检查希尔伯特的大酒店悖论例如，奇数、偶数、完整正方形或立方体、大于1996的整数集都可以与所有整数集（它们是其中的子集）形成1-1的对应关系。实际上，下表总结了它是如何实现的。

整数奇数偶数方形立方体大于1996
n个2n-1个2个n个2n个三n+1996年
112111997
2三4481998
三569271999
47816642000
。。。。。。。。。。。。。。。。。。

设N、E和O表示所有计算数字，分别为所有偶数和所有奇数。然后，一方面，N~E和N~O（其中波浪号表示存在1-1对应关系）。打开另一方面，N~N=E+O。对许多人来说，它可能看起来像1=2。但我们也可以采取更积极的态度。

我会叫两组A和B相等的如果A~B。我们发现无限集可能（实际上是）等价于它们自己的子集，并且两个等价（无限）子集的并集等价于它们中的任何一个。实际上，我们可能已经了解了有限集和无限集之间的根本区别。没有一个有限集等价于它自己的一个适当子集，而每个无限集都是德德金德的定理，但通常被视为无限集.

集合A称为可数的（或可枚举的，或可数的，有时甚至可计算的)如果A~N，即如果它等价于所有整数的集合。我们的第二个发现可以表述为

引理2

两个可数集的并集是可数的。

引理2的证明

让我们表示两个集合A和BA~N公司和B至N。自北至东和无我们得到A~E类和B ~ O。因此A+B~E+O=N。

它由引理2导出，但也可以直接证明有限数的并可数集合的个数是可数的。更令人兴奋的事实是

引理3

可数集合的可数个数的并集是可数的。

引理3的证明

有关证据，请参阅单独的页面.

推论

两个可数集的笛卡尔积是可数的。（两组A和B的笛卡尔积由成对（A，B）组成，其中a∈a（a是a的元素）和b∈b）

康托的集合论本身就是一个引人入胜的话题，但摇摆的目的是什么远离各种数字集的讨论？除了对即将到来的讨论有用之外关于代数和超越数，有一个更直接的目标。

引理4

所有有理数的集合Q等价于所有整数的集合N。

引理4的证明

这是引理3的直接结果。要获得Q的枚举，请在上图中写下1/1而不是11，1/2而不是12，依此类推换言之，函数F（m/n）=（m+n-1）（m+n-2）/2+m列举正有理数的所有可能表示。但每个有理数都有无穷多个分数表示。因此，Q最多是可数的。它显然是无限的。要证明这确实是可以计算的，需要更多的毅力，我更愿意提及参考文献[5].

另一个上诉证据可以在单独的页面上找到。还有一个第三个基于上的分数枚举Stern-Brocot树.

引理5

所有有理数的集合Q等价于所有整数的集合N。所有无理数的集合I是不可数的。

引理5的证明

该证明是已知的对角线论点。我再次只考虑0到1之间的数字。无理数被定义为十进制（非周期）分数。假设可以枚举所有这些小数。让我们选择一个枚举并按相应顺序列出小数：

一1=0.a11一12一13一14。。。
一2=0.a21一22一23一24。。。
一三=0.a31一32一33一34。。。
。。。

其中a锰代表n第个m的数字第个十进制的。我采用的方法是康托著名的对角线工艺。为了提醒您，我们假设0到1之间的所有小数都已按上述顺序列出。我将通过显示列表中至少缺少一个小数来反驳这个问题。十进制b=0.b1b条2。。。是由一个数字一个数字构成的。选择b1为除a以外的任何数字11.选择b2为除a以外的任何数字22。通常，选择bn个为除a以外的任何数字nn个那么b不能等于任何小数点an个,n=1、2、3。。。因为b和a不同1第一位数字；它不同于2第二位数，依此类推。

（安绝对令人愉快的论据对于最近的一款葡萄酒来说，不涉及对角线过程是非常值得研究的。）

从引理1可以看出，有理数和无理数的分布有很多共同点。在任何两个同一类型的数字之间总是存在相同的数字和另一种。然而，有理数形成可数集，而无理数形成不可数集。

结束有理数和无理数的讨论：

  • 有无穷多个集合不存在1-1对应关系。有各种各样的无限集。本主题属于集合论领域，尤其是超限数理论（基数）。
  • 引理1中表示的属性称为密度有理数和无理数都在直线上，因此属于一般拓扑。集合可以是密集的，而不是等价的。
  • 基于有限集合经验的期望不应外推到无限集合。

代数和先验数字

现在让我们考虑带整数系数的多项式方程：

P（P）n个（x） =an个x个n个+一个n-1个x个n-1个+ ... + 一1x+a（x+a）0= 0

这种方程的实根被称为代数根。换句话说，数字a被称为代数的如果它满足一个代数方程：Pn个（a） 某些多项式P的=0n个（x） 带有整数系数。有理数和整数都是代数的。的确，对于一个给定的理性数r=p/q拿n=1和P（P）1（x） =qx-页。显然P（P）1（r） =0。 √5是也可以用代数方法求解方程P（P）2（x） =x2- 5 = 0.

如果n个≠0，则多项式为n阶。

一阶多项式各有两个整数系数1和a0从引理3可以得出所有一阶多项式的集合都是可数的。人们可以直接或通过归纳来证明一个普遍的断言。对于每nn阶多项式的集合是可数的。这个代数基本定理声称n阶多项式正好有n（也许复杂的)根。因此，所有数字的集合满足n阶方程的是可数的。此集合的子集由实数数字也是可数的。再次应用引理3，我们得到

引理6

所有代数数的集合都是可数的。

非代数的实数称为超越的因此，所有实数的集合R是并集代数集和超越集。集合R是不可数的，而有可数的多个代数数字。因此，所有超越数的集合也是不可数的。考虑到确定一个给定的数字是否是代数的，这是康托早期令人惊讶的结果之一。

众所周知，π和e（电子）都是超然的。e（电子）1873年被赫米特证明是超验的，而π被林德曼于1882年。e（电子）π是超越Gelfond定理的。π中至少有一个e（电子）和π +e（电子）是超越的。目前尚不清楚e（电子）e（电子）, ππ或πe（电子）都是超然的。

一张便条

请注意，虽然大多数实数都是超越的（因为只有可数的代数数），但超越性一次只能证明一个数。

真实与复杂数字

有理数和无理数的结合形成了真实的数字。复数是成对的c=（x，y）两个实数。由于必须处理两个数字而不是一个比处理一个数字更复杂，这个术语很有道理。推动发展复数理论源于一个简单方程的不可解性x个2+ 1 = 0在实数集合中。在复数集合中，方程有两个解决方案±我.其余复数也可以通过添加这个新数字来定义我到实数和假设集常用的算术运算（加法、减法、乘法）适用于扩展集并且所有已知适用于这些运算的定律也适用于新的集合。这样的行动是称为给定代数运算的闭包。这很令人满意在不违反现有法律的情况下，通过添加一个新的数字，我们实际上得到了一组数字其中每一个实系数多项式方程都有一个解。这被称为代数基本定理此外，该定理也适用于每一个复系数多项式。

复数具有不寻常的性质，特别是在微分方面。使用实数微分是微积分和实分析的起点。对于复数，它会导致解析函数理论。

想像的数字

正如刚才定义的那样，复数c是一对（x，y）两个实数。一对中的x称为实部y是想像的复数c的一部分。由于以下原因，虚部的概念相当不幸。

复数（x，y）与点关联（x，y）在平面的标准坐标系中。点数（x，0）位于非常真实的X轴上，而点（0，y）位于同样真实的Y轴上。当需要强调代数性质时复数的习惯用法是写（x，y）=x+iy从而区分实部x想象中的部分y更为明显。然而，在某些情况下，“想象的”一词会起作用最合适的情况描述。

平面上两点之间的距离c（c）1=（x1，年1)和c（c）2=（x2，年2)定义为距离（c1，c2)2=（x1-x个2)2+（年）1-年2)2.哪一个是由于勾股定理然后是半径为r且中心位于的圆c（c）0=（x0，年0)由所有点组成c=（x，y）这样的话距离（c，c0)=r。换句话说，

（1）（x-x0)2+（y-y0)2=r2.

这是一个在实平面（虽然由复数组成）中的实圆方程（即可以用指南针绘制的圆）。现在，数学家们并没有止步于一个简单的方程式x个2= 1但很好奇通过更改右侧的标志可以进一步解决问题。新方程式x个2=-1事实证明，这是过去250年中许多发现的来源。数学家继续他们通常的方式，也没有停止改变方程式（1）的符号。自，我2= -1,他们得到了

(2)（x-x0)2+（y-y0)2=（ir）2.

它实际上是一个具有真实中心c的假想圆0而是虚半径ir。到目前为止，必须说多项式方程（2）没有实解（x，y）或者，也就是说，没有复杂的解c。然而，为了简单起见，如果我们考虑一个以原点为中心的圆

(3)x个2+年2=（红外）2

那么很明显，方程（2）和（3）确实有解。例如，这对（0，ir）求解（3）。这可能被称为真正的虚数（参见参考文献[7]).

完美的数字

每个数n至少可以被1和n整除。n的所有除数之和称为秒（n） ●●●●。如果n=p一q个b条...,其中p，q。。。那么都是质数了秒（n） =（1+p+…+p一)（1+q+…qb条)... .如果n等于包含1但不包含n的除数之和，则n是完美的。换句话说，如果秒（n） =2n。

其中的数字秒（n） <2个被称为缺乏的例如，秒(8) = 1 + 2 + 4 + 8 = 15和秒(15) = 1 + 3 + 5 + 15 = 24,因此8和15是不足的。其中的数字秒（n） >2个被称为大量的.12是这样一个数字，因为秒（12） =1+2+3+4+6+12=28>2·12。

欧几里德在他的元素九.36证明了如果对于素数p，p+1=2k个,然后是2k-1号机组p是完美的。Leonhard Euler（1707-1783）在其死后发表的一篇论文中，证明了每一个偶数都具有欧几里得形式。欧拉在他生命的最后18年里是完全失明的。所以这个结果很可能是已经失明的欧拉得到的结果之一。

第一个完全数是6 (= 1 + 2 + 3).28（＝1+2+4+7+14）是第二个。然后是496和8128。第五个完全数33550336是由Hudarlichus Regius（1536）计算出来的，而不是500年前。

超现实主义数字

超现实数字由约翰·康威发明，他创造了著名的生活游戏。唐纳德·科努特的小册子研究之美给出了一个非常受欢迎但严格的介绍超现实数字的发展，从字面上的无开始。这个这是我在这里要提到的理论的唯一方面。

超现实数字（参见简短的介绍或与游戏有关)是一对集合｛X我，XR（右）}其中指数表示相对成对集合的位置（左侧和右侧）。要构建的第一个数字是0 = {,}其左集合和右集合均为空。其余的超现实数字（包括我们到目前为止讨论过的数字和无数的数字，其中一些我很难想象）都是从0开始，应用两个简单的规则形成的。真的，这是从无到有.

马丁·加德纳(参考[9])描述了超现实数字在约翰·康韦（John Conway）开发的博弈论中的应用。

正方形和三角形数字

每个人都知道如何计算给定数字的平方，尤其是当它不太大的时候。22= 4, 三2= 9, 42= 16等等。为什么这个数字乘以自身的运算被称为平方？最好从下图中了解原因。

一个边长为n的正方形可以被视为由n×n个大小为1×1的较小正方形组成的网格。

三角形数字的名字来源于一种类似的结构，即现在的三角形。实际上我们已经在上面引理3的证明中使用了三角数。三角形数字在表格1、3、6、10、15。。。一般公式是每n个数N=N（N+1）/2是三角形的并描述了以三角形排列的点的数量，其中n个点位于一侧，如下所示。

当然，需要证明，如图所示排列的交叉总数由以下公式给出N=N（N+1）/2。然而，我们可以观察到每个三角形中的十字数等于总和

1 + 2 + ... + 编号：，

哪里n是三角形边上的十字数。因此，在这一过程中，我们将证明

1 + 2 + ... + n=n（n+1）/2。

另一张图表将使这一说法变得显而易见

事实上，两个三角形，每一个边上都有n个十字，一起形成一个n×（n+1）矩形。你可能会怀疑指向图表是否能证明什么。当然，图表本身并不能证明什么。但它确实有助于形象化并可能辨别证据。实际上，我们寻求一个从1到n的整数和的公式。这个和表示三角形中的交叉数。两个三角形（其中一个旋转180°）形成一个矩形，即所有行的十字数相同的形状。第一个三角形中的行数按递增顺序交叉1、2、3…，而第二个三角形中有n行，n-1，…按递减顺序交叉。让我们用代数的方式来模拟这个过程。

首先取两个总和（一个是递增的，另一个是递减的）（1+…+n）+（n+…+1）。现在，通过组合两个总和中的第一项，然后是第二项，依此类推，对这些项进行重新分组：

[1+n]+[2+（n-1）]+[3+（n-2）]+…+[（n-1）+2]+[n+1]=n（n+1）

非常严格。Q.E.D.公司。

很明显欧几里得完全数是三角形的。

工具书类

  1. J.H.Conway和R.K.Guy，数字之书，纽约州施普林格市，1996年。
  2. R.Courant和H.Robbins，什么是数学？牛津大学出版社，1966年。
  3. H.Davenport，高等算术纽约州哈珀兄弟公司。
  4. W.Dunham，数学世界，John Wiley&Sons，纽约，1994年。
  5. 大英百科全书
  6. M.Gardner，Penrose瓷砖至陷阱门密码W.H.Freeman and Co.，纽约，1989年。
  7. D.Knuth，研究之美，Addison-Wesley出版公司，1974年。
  8. K.Kuratowski和A.Mostowski，集合论，北荷兰，阿姆斯特丹，1967年。
  9. M.Gardner，时间旅行和其他数学困惑W.H.Freeman and Co.，纽约，1988年。
  10. R.Rucker，无限与心灵，普林斯顿大学出版社，新泽西州普林斯顿，1955年
  11. H.Schwerdtfeger，复数几何《多佛出版》，纽约，1979年。
  12. I.斯图尔特，大自然的数字，BasicBooks出版社，1995年。

在Web上

  1. 抽象代数在线
  2. 问数学博士
  3. 埃里克的数学宝库
  4. 三角形数字（Julio de la Yncera的在线和iPod视频）

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