整数的乘法

在上的页面上数字的加法，我假设我们知道如何加、减和乘整数。我提到皮亚诺公理是定义这些操作及其属性的基础。让我们看看怎么做。

首先，我们假设有一些事情要讨论：存在一个被称为集合的实体自然数N，其属性（显式或隐式）由以下给出

皮亚诺公理

1是一个自然数。这表示集合N不为空。至少有一个自然数。此数字由符号1（发音一或单元.)
对于N中的每个x，都存在一个数字x'，称为继承人第x页，自x=y表示x和y是一个相同的数字，x=y暗示x’=y’。
x'≠1。换句话说，1不是任何自然数的继承者。
x'=y'表示x=y。不同的数字有不同的后继数字。
(归纳公理). 设M是具有以下性质的自然数的（子）集：
1. 1∈M
2. x∈M表示x'∈M
那么M=N。换句话说，M包含所有自然数。

我的目的不是要详细研究这个问题。举个例子演示从公理推导的逻辑，特别是归纳公理，我将证明几个基本定理；然后我们将定义自然数的加法和乘法。（考虑了许多其他示例在别处.)

定理1

x≠y表示x'≠y'。

证明

事实上，否则我们会有x'=y'。公理4将导致x=y。矛盾。

定理2

x'≠x。

证明

设M是x'≠x的所有x的集合：M={x:x'≠x}。根据公理1和3，1'≠1。因此1∈M。

此外，假设x∈M，即x'≠x定理1，（x'）'≠x'，这正好意味着x'∈M。最后，公理5意味着M=N。概括一下，x'≠x代表所有自然x。

定理3

如果x≠1，则存在u，从而x=u’。

证明

设M是由1和存在u的所有x组成的集。那么根据定义1∈M。设x∈M。取x=u我们看到了x’=u’。因此，x'∈M。因此，M=否除1外，每个自然数都是另一个自然数的继承者。

定义1（添加）

对于每个x，定义x+1=x'。
对于每个x，y定义x+y'=（x+y）'。

定理4

对于所有自然的x和y，数字x+y都有很好的定义。

定义2（乘法）

对于每个x，定义x·1=x。
对于每个x，y定义x·y'=x·y+x。

定理5

对于所有自然x和y，数字x·y都有很好的定义。

备注

x+y和x·y称为总和和产品分别为x和y。
我很高兴E.Landau在定理5证明的开头所说的话：Mutatis mutandis（有明显的变化），证明几乎一字不差地遵循定理4。
递归定义，即依赖公理5的定义，是算术的核心。这条公理提供了一种证明在有限元中表示无穷多个数的语句（或者，如果你愿意的话，表示无限多个语句，每个语句包含一个数）步骤数（即2。）
关联性和交换性加法和乘法都遵循皮亚诺公理。减法和除法必须分开定义。如果没有它们，自然数集是关于加法和乘法的半群。
这个分配定律（第一个）由定义2的第二条建议，可以阅读（x+1）·y=x·y+y。当然，一个更一般的定理是基于公理5的。

定理6（分配定律）

x·（y+z）=x·y+x·z

证明

证据来自归纳基于公理5设M是定律适用的所有z的集合。我们刚刚看到，根据定义2，1∈M。让z∈M。然后

x·（y+z'）	=x·（y+z）’
	=x·（y+z）+x
	=（x·y+x·z）+x
	=x·y+（x·z+x）
	=x·y+x·z’

在我假设的地方结合性已证明的添加量。

参考

埃德蒙·兰道，分析基础切尔西俱乐部，1960年
J.A.Paulos，超越数字，复古书籍，1992

71882679

整数的乘法

皮亚诺公理

定理1

证明

定理2

证明

定理3

证明

定义1（添加）

定理4

定义2（乘法）

定理5

备注

定理6（分配定律）

证明

参考

什么可以乘法？