有理数的可数性

有理数的集合是可数的。最多普通证明基于康托计数的可数的可数集合的集合。我在里面找到了一个有启发性的证据[施罗德第164页]，参考[萨格尔].

每个正有理数都有一个唯一的表示形式，即分数m/n互素整数m和n。m和n各自有自己的素数分解。让这些成为现实吧

m=p₁^一₁第页₂^一₂ ... 第页_第页^一_第页、和n=q₁^b条₁q个₂^b条₂ ... q个_秒^b条_秒,

形成数字K（m/n）=p₁^2a个₁第页₂^2a个₂ ... 第页_第页^2a个_第页q个₁^{（2b）₁-1)}q个₂^{（2b）₂-1)} ... q个_秒^{（2b）_秒-1)}事实上，K是一个将任何有理正数映射到正整数上的函数。值得注意的是，K是一个1-1通信。有理数m/n可以从其图像K（m/n）中明确地恢复。同样，对于任何整数N，都对应一个有理数m/N，如下所示N=K（m/N）。

这套问因此，所有有理数都等价于集合Z所有整数。后者是相等的到集合N个整数。

举个例子，有理数对应什么2⁸三⁵13 17²?用奇偶指数分开素数：2⁸17²和三⁵13修改它们以符合K的定义：m=2⁴17¹和n=3^三13 K（2⁴17¹三^-313^-1) = 2⁸三⁵13 17².

如果n=1，m/n只是整数m。K（m）=K（m/1）=p₁^2a个₁第页₂^2a个₂ ... 第页_第页^2a个_第页=米².

(另一个奇怪的证据基于上的分数枚举Stern-Brocot树.)

工具书类

Y.Sagher，计算原理,美国数学。每月 96, 823
M.Schroeder，分形、混沌、幂律W.H.Freeman and Company，1991年

有理数的可数性

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