Stern Brocot树

Stern-Brocot树是用中值分数建立的。将两个起始项0/1和1/0分开放置，中间分数1/1在中间，稍微向下。这将创建两个间隙：一个在0/1和1/1之间，另一个在1/1和1/0之间。计算两个相应的中间值，并将其置于1/1以下。以这种方式继续。下一步将添加一行四个分数，然后是8，依此类推。

Stern-Brocot树的一个显著特性是，以这种方式获得的中间分数总是以最低的形式出现。事实已经证明通过感应基于树的以下属性：任意两个分数m₁/n个₁和m₂/n个₂其中间值可在施工的任何阶段计算，满足

(1)

米₂n个₁-米₁n个₂= 1

由满足（1）的两个项生成的中间分数与其两个祖先具有相同的关系。从这里我们观察到，Stern-Brocot树中术语的分子行和分母行是相互独立计算的。它们可以单独处理。分子行以一对整数0,1开始。分母行以一对整数1,0开始。它们只是彼此的对称反射。让我们将第一棵树表示为[0, 1]和第二个[1, 0].我们可以推广并考虑由任意一对整数[x，y]生成的树。

由于在构造的任何阶段，我们只进行线性运算（实际上只是加法），因此我们得到了一个整体向量空间树木。空间是二维的，我们可以写[x，y]=x[1,0]+[0,1]。每棵树[x，y]由两部分组成：左树[x、x+y]=x[1,1]+y[0,1]和右树[x+y，y]=x[1,0]+y[1,1]。树[1,1]是自身的镜像。特别是，它的所有行都是回文的。

让我们记录几个观察结果：

1. 分母树[1,0]的左边部分是[1,1]。
2. 分子[0,1]树的左侧仍然是[0,1]，而[1,1]现在是右侧。
3. 左侧1/1的分数小于1；1/1右边的分数大于1

综合起来我们可以看到

1. 分母树的左边部分是回文。
2. 任何一行分子的右侧部分与相应一行分母的左侧部分重合。
3. 分子行的左边部分与前一行分子一致。

令人惊讶的是，Stern-Brocot树包含了非负分数因此，它的左子树包含0到1之间的所有分数。无论如何，必须能够从树上摘下任何顺序的法利系列。无论确切的过程是什么，因为选择分数进入序列的唯一标准是其分母的大小，正如我们所知，任何一行分母的正确部分是回文的，法雷级数中的分母也总是如此。

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