楼层功能

直到几十年前，$[x]$还是整个部分实数$x.$现在楼层功能符号$\lfloorx\rfloor$至少也同样广泛。楼面函数的后一种表示法及其对应的天花板函数$\lceil x\rceil$（它是不小于$x的最小整数）$是由Kenneth Iverson在20世纪60年代早期引入的。由于极端的实用性和使用频率，符号在数学文献中取得了长足的进步。（附言：在旧版本的页面中，我写道：“如果不是因为HTML排版的困难，我会随大流。就目前而言，我将使用旧的$[x]$符号。”然而，JavaScript和MathJax库的开发使得使用新符号与使用旧符号一样容易。因此，下面是旧页面的翻新变体。）

对于给定的实$x，$$\lfloor x\rfloor$表示不超过$x.$的最大整数$n$。根据定义，对于所有整数$x.$，$\lffloor x\rploor+1$始终大于$x.$$\lploor x\ rfloor=x，$。对于非整数，$\lfloor x\rfloor$严格小于$x.$不等式$\floor x\floor\le x\lt\floorx \rfloor+1$始终成立。现在，我们可以通过包含$\lfloor x\rfloor.$的公式定义其他函数例如，$f（x）=\lfloor\sin（x）\lfloor.$你能画出这个函数的图形？

有许多与地板功能相关的奇怪之处。以下是从一本旧俄罗斯杂志中摘录的一些虚假例子(数学教育，n11934):

$\lfloor e\rfloor^{\lfloor\pi\rfloor}+\floor\pi\rfloor=\floor\ pi\rffloor^{\flooro e\rffloor}+\ lflooro 2\rfloor$

$\lfloor\sqrt{2}\rfloor+\lfloor \sqrt{2}\rffloor=\floor\scrt{4}\rfroor$

$\lfloor\sqrt{3}\rfloor+\floor\scrt{3}\floor=\floor\sqrt{6}\rffloor$

$\lfloor\sqrt｛8｝\lfloor+\lfloor\sqrt｛8｝\lfloor=\lfloor\sqrt｛16｝\lfloor$

该函数也有合理的用途。下面是楼层功能发挥重要作用的几个示例。在分析中Wythoff游戏，我们遇到了两个整数序列：$A$和$B$.序列$A$和$B$中的$n^{th}$项分别表示为$\lfloor n\phi\rfloor$和$\lffloor n\phi^{2}\rfloor，$，其中$\phi$是黄金比率$（\sqrt{5}+1）/2.$Beatty挤压概括这个结构。

有一个众所周知的问题，其公式，甚至存在本身，都取决于楼层函数。在[参考文献2]，它已被指定为*-问题，表示难度增加。

然而，需要几何解释的解决方案非常简单。

例如，假设$p=7$和$q=16.$考虑笛卡尔坐标系。画一条连接原点和点$（q，p）的线注意，由于$p$和$q$被假定为互质，所以点$（q，p）$为看得见的（从原点开始）也就是说，在原点和点$（q，p）之间，$该线不包含其他网格点，即具有整数坐标的点。由点$（0，0）、$$（0、p）、$$s（q，0），$和$（q，p）$组成的矩形内的此类整数点的数量为$（p-1）（q-1）。$$（p-1）（q-1）/2$是这个数量的一半。

对角线的等式为$y=（p/q）x.$只需注意，对于整数$0\lt n，$$\lfloor np/q\rfloor$是该线下方的整数点$（n，m）$的数目。例如，对于$n=8，$有$\lfloor 8\cdot 7/16\rfloor=3$points、$（8，1）、$$（8、2）、$和$（8和3）。$由于矩形内没有整数点位于对角线上，因此所有这些点都位于直线下方或上方。所需标识的左侧统计对角线下方的整数点数。正如我们刚才看到的，这样的点数是$（p-1）（q-1）/2$

奇怪的是，从右侧的对称性（$p$和$q$）来看，我们也有

$\displaystyle\bigg\lfloor\frac{q}{p}\bigg\rfloor+\bigg\ lfloor\frac{2q}{p}\big \rfloor+\big \ lfloor \frac{3q}{p}\bigg\rffloor+\ldots+\big\lfloor \ frac{（p-1）q}{p}\big\ rfloor=\frac{（p-1）（q-1）}{2}$

楼层函数的图形由一系列平行于$x$-轴的单位间隔组成。

每个线段右端的点表示该点本身已从图形中排除。这些线段包括左端点，但不包括右端点。事实上，$\lfloor x\rfloor$是通过省略$x的小数部分而获得的，$如果有的话。对于满足$n\le x\lt n+1，$$\lfloor x\rfloor=n.$的整数$n$和$x$，因此，$\lffloor x\rploor$在半开放间隔$[n，n+1）.$中是恒定的。注意负数的行为。例如，根据定义，$\lploor-3.5\rfloor=-4$。

$\lfloor x\rfloor$具有$\lfloor x+n\rfloor=\lfloor x\rfloor+n.$属性，因此可以在括号中取整数。$y=\lfloor\sin（x）\rfloor$的图形如下所示。

图中有单独的点（红色），其中正弦值为$1$，否则由线段组成，一些线段的端点被排除在外（蓝色）。函数从$\sin（x）$继承其周期$2\pi.$您可以尝试找出函数$y=\sin\lfloorx\rfloor$的图形，这一点都不好。

要给出另一个应用程序，请回忆一句大意为域$\mathbb{Z}[\sqrt{m}\space]$在实线上很密集。这一证明可以从两次观察中获得。首先，对于一个真正的$x，$$x-\lfloorx\rfloor$是$x的小数部分，$x是一个介于$0$和$1之间的数字。$将此应用于$x=\sqrt{m}$以获得位于打开间隔$（0，1）$

其次，对于任何数字a，$0\lta\lt1，$$a^{n}$倾向于随着$n$的增长，达到$0$。因此，$\mathbb{Z}[\sqrt{m}\space]$包含任意接近$0的（正）数。选取适当的小数字及其整数倍，我们可以证明$\mathbb{Z{[\sqrt{m}\space]$中的数字在区间$[0，1]\；$中是稠密的并且，由于$\mathbb{Z}[\sqrt{m}\space]$包含整个轴上的所有整数。

工具书类

1. J.Cofman，解决什么问题？，牛津科学出版社，1996年。
2. D.O.Shklarsky、N.N.Chentzov、I.M.Yaglom、，苏联奥林匹克问题书弗里曼，1962年

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