复数的三角形式

除$0外，$中可以表示任何复数三角形式或在中极坐标:

$z=r（\cos\alpha+i\cdot\sin\alpha）$

哪里$\alpha\in\mbox{Arg}（z）.$$r、 $个模数，模量，或$z的绝对值，$很容易找到：

$|x+iy|=\sqrt{x^{2}+y^{2{}$

但是我们如何找到$\alpha众所周知，$\alpha$不是唯一的，但找到模2美元\pi.$主值$\mbox{arg}（z）$属于区间$[0，2\pi）.$Assume，$z=x+yi.$Then\alpha是$x$-轴与点$（x，y）$或后者与单位圆相交的点的半径向量形成的角度，即。，

$z/|z|=\cos\alpha+i\cdot\sin\alpha$

显然，$\alpha$可以从

(1)

$\tan\alpha=y/x$

虽然这在很大程度上是正确的，但应谨慎行事。显然，（1）不适用于$x=0。$$x=0$显然是一个例外情况，但即使在这种情况下，我们也面临两种选择，即赋值给$\mbox{arg}（z）$或$\pi/2$或$3\pi/2。$选择取决于$y.$的符号（对于$y=0，$$z=0$，众所周知，$0$是唯一与任何参数无关的复数。）

$\开始｛案例｝\mbox{arg}（z）=\pi/2，&y\gt 0\\\mbox{arg}（z）=3\pi/2，&y\lt 0。\结束{cases}$

在一般情况下，必须考虑到类似的因素(1)，其中$x\ne 0.$由于$\tan（）$具有周期$\pi$和基本间隔$（-\pi/2，\pi/2），因此$必须说明$x$和$y的符号$

在象限I和象限III中，$\tan（t）$为正。在象限II和IV中，$tan（t）\lt 0.$在象限I中，$\mbox{arg}（z）=\arctan（y/x）.$但是，对于象限III，必须通过添加$\pi来升级正$\arctan（y/x）$类似地，对于象限II中的$z$，$\arctan（y/x）$为负数。要将其放到第二象限，我们必须添加$\pi.$对于第四象限中的$z$，$\arctan（y/x）$再次为负数，但其位置正确。为了保持不变，我们现在必须添加$2\pi，$，以便该值落入区间$[0，2\π）。$要求和，请表示$\alpha_{0}=\tan（y/x）。$然后

$\开始{cases}\mbox{arg}（z）=\alpha{0}，&x\gt 0，y\gt 0\\\mbox｛arg｝（z）=\alpha_｛0｝+\pi，&x\lt 0，y\lt 0\\\mbox{arg}（z）=\alpha{0}+\pi，&x\t 0，y\t 0\\\mbox{arg}（z）=\alpha{0}+2\pi，&x\gt 0，y\lt 0，\结束{cases}$

或以更短的形式，

$\开始{cases}\mbox{arg}（z）=\alpha{0}，&x\gt 0，y\gt 0\\\mbox{arg}（z）=\alpha{0}+2\pi，&x\gt 0，y\lt 0\\\mbox{arg}（z）=\alpha{0}+\pi，&x\lt 0。\结束{cases}$

三角形式与乘法运算密切相关。设$z=r（\cos\alpha+i\cdot\sin\alpha）$和$w=s（\cos\beta+i\cdot\sin\ beta）。$然后

(2)

$\开始{align}zw&=rs（\cos\alpha+i\cdot\sin\alpha）（\cos\beta+i\cdot\sin\ beta）\\&=rs（\cos（\alpha+\beta）+i\cdot\sin（\alalpha+\ beta）。\结束{对齐}$

后者源于乘法复数和加法公式表示正弦和余弦。

$\cos（\alpha+\beta）=\cos\alpha\cdot\cos\beta-\sin\alpha\cdot\sin\beta\space\mbox{和}\\\sin（\alpha+\beta）=\sin\alpha\cdot\cos\beta+\cos\alpha\cdot\sin\beta。$

（2）告诉我们两个数乘积的模是它们模的乘积已经知道了但它也告诉了我们一些我们没有注意到的事情：乘积的参数是被乘数的参数之和。（当然需要选择后者模2美元\π）$

(3+)

$|zw|=|z||w|\space\mbox{和}\\\mbox{arg}（zw）=\mbox{arg}（z）+\mbox}arg}，（w）\space（\mbox{mod}2\pi）$

通俗地说，要将两个复数相乘，必须将其绝对值相乘，并将其参数相加。

很容易看到$\mbox{arg}（z'）=-\mbox}arg}从中我们得出结论对于$w\ne 0$

(3-)

$|z/w|=|z|/|w|\space\mbox{和}\\\mbox{arg}（z/w）=\mbox{arg}（z）-\mbox}arg}，（w）\space（\mbox{mod}2\pi）$

由归纳、（3+）和（3-）暗示德莫伊夫尔的身份：对于任何整数$n\ne 0$

$（\cos\alpha+i\cdot\sin\alpha）^｛n｝=\cos（n\alpha）+i\cdot\sin（n\alpha）$

对于$n=0$和$z\ne0，我们定义$z^{0}=1$，然后deMoivre的公式适用于所有整数$n，$，没有例外。一般来说，(2)引出欧拉公式

$\显示样式e^{i\alpha}=\cos\alpha+i\sin\alpha$

很自然地，

$\显示样式e^{i\alpha}\cdot e^{i\beta}=e^{i（\alpha+\beta）}$

特别地，

(4)

$[r（\cos\alpha+i\cdot\sin\alpha）]^{n}=r^{n} e（电子）^{in\alpha}=r^{n}[\cos（n\alpha）+i\cdot\sin（n\alpha）]$

（事实上，请参阅[克莱恩第408页]，德莫伊夫尔表示同名的公式仅隐式。它标准格式是由于欧拉，并被他概括为任何真正的$n。）$

接下来，让我们想想如何计算复数的根。它是清晰的形式(4)对于给定的$w，$选择$|z|=|w|^{1/n}$和$\mbox{arg}（z）=\mbox}（w）/n$将解决问题，$w=z^{n}$：

$\开始{align}z^{n}&=[|w|^{1/n}（\cos（\mbox{arg}（w）/n）+i\cdot\sin\\&=|w|^{n\cdot 1/n}（\cos（n\cdot\mbox{arg}（w）/n）+i\cdot\sin\\&=|w|（\cos（\mbox{arg}（w））+i\cdot\sin（\mbax{arg}（w））\\&=重量。\结束{对齐}$

需要注意的重要一点是，除了微不足道的情况$n=1外，我们还可以获得额外的根。例如，我们可能选择$\box｛arg｝（z）=（\box｛arg｝（w）+2\pi）/n$，效果完全相同。实际上，因为余弦和正弦都有周期$2\pi，所以我们会有

$\开始{align}z^{n}&=[|w|^{1/n}（\cos（（mbox{arg}（w）+2\pi）/n）+i\cdot\sin\\&=|w|（\cos（\mbox{arg}（w）+2\pi）+i\cdot\sin（\mbax{argneneneep（w）+2\pi））\\&=重量\\\结束{对齐}$

更一般地说，对于整数k和$\mbox{arg}（z）=（\mbox{arg}（w）+2k\pi）/n，我们有$

(5)

$\开始{align}z^{n}&=[|w|^{1/n}（\cos（（mbox{arg}（w）+2k\pi）/n）+i\cdot\sin\\&=|w|（\cos（\mbox{arg}（w）+2k\pi）+i\cdot\sin\\&=重量。\结束{对齐}$

当然，一些k会产生相同的复数。例如，如果$m=k+n，则$

$\开始{align}（\mbox{arg}（w）+2m\pi）/n&=（\mbax{arg}（w）+2（k+n）\pi\\&=（mbox{arg}（w）+2k\pi+2n\pi）/n\\&=（mbox{arg}（w）+2k\pi）/n+2\pi\\&=（mbox{arg}（w）+2k\pi）/n（mod 2\pi）\\\结束{对齐}$

使得k和m定义了完全相同的复数。好吧，我们看到了(5)并非所有数字都不同。但有多少呢？答案是$n！$这意味着，对于任何复数$w$，方程$z^{n}=w$都有$n$不同的根！这是因为复数的参数仅定义为模$2\pi.$例如，如果$n=4，则在序列中

$\mbox{arg}（w）/n\\（\mbox{arg}（w）+2\pi）/4\\（\mbox{arg}（w）+4\pi）/4\\（\mbox{arg}（w）+6\pi）/4\\（\mbox{arg}（w）+8\pi）/4，\ldot$

第五项（即系数为8的项）等于模$2\pi$第一项，从该项开始，序列重复自身，模$2\\pi$只有四个不同的项。

这并不奇怪。毕竟，我们求解的是$z^{n}=w$，这是一个$n.$阶多项式方程代数基本定理，任何具有实数（实际上是复数）系数的多项式方程都有n个根。

我们也可以借鉴我们的真实数字经验。对于任何正实数a，都有两个平方根，$\sqrt{a}$和$-\sqrt}a}.$作为复数，第一个（即正数）有参数$0，第二个（负数）有变量$\pi.$即，对于正实数$a$

$\mbox{arg}（\sqrt{a}=0\\\mbox｛arg｝（-\sqrt｛a｝）=\pi$

例子

让我们找出$w=-8+8i.$的所有三次根在三角形式中，$w=8\sqrt{2}（\cos（3\pi/4）+i\cdot\sin（3\pi/4））。$因此，我们得到了三个不同的根：

$2\cdot 2^{1/6}（\cos（\pi/4+i\cdot\sin（\pi%4））\\2\cdot2^{1/6}（\cos（\pi/4+2\pi/3）+i\cdot\sin（\pi%4+2\pi%3））\\2\cdot2^{1/6}（\cos（\pi/4+4\pi/3）+i\cdot\sin（\pi%4+4\pi%3））。$

重新计算$\pi=180^{\circ}，我们得到了三个形式稍有不同的根：

$2\cdot2^｛1/6｝（\cos（45^｛\circ｝）+i\cdot\sin（45^｛\circ｝））\\2\cdot 2^{1/6}（\cos（165^{\circ}）+i\cdot\sin（165^}\circ{））\\2\cdot 2^{1/6}（\cos（285^{\circ}）+i\cdot\sin（285*{\circ}））$

围绕原点均匀分布。

工具书类

T.Andrescu、D.Andrica、，复数从A到。。。Z轴，Birkhäuser，2006年
C.W.道奇，欧几里德几何与变换，多佛，2004年（1972年版重印）
梁申汉，复数与几何，MAA，1994年
M.Kline，从古至今的数学思想《第2版》，牛津大学出版社，1972年
E.朗道，分析基础，切尔西出版社，3^第个1966年版

复数

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