双角和半角公式

三个公式通常被称为“双角度公式”：

$\开始{align}\sin 2\alpha&=2\sin\alpha\cdot\cos\alpha\\\cos 2\alpha&=\cos^{2}\alpha-\sin^{2{\alpha\\\cos 2\alpha&=2\cos^{2}\alpha-1\\\cos 2\alpha&=1-2\sin^{2}\alpha\\\显示样式\tan2\alpha&=\frac{2\tan\alpha}{1-\tan^{2}\alpha{。\结束{对齐}$

前两个公式是对应的加法公式; 第三个和第四个直接跟在第二个后面，应用了毕达哥拉斯恒等式，$\cos^{2}\alpha+\sin^{2neneneep \alpha=1.$第四个紧跟在前两个和切线的定义后面。

它们也可以在没有文字的证明中观察到，如下图所示，该图描绘了一个半圆和几个相关的直角三角形[内尔森]:

双角公式PWW

例如，可以用两种方法计算$\Delta ABC$的面积，即$AC\cdot BC=AB\cdot CD$，这是第一个公式。此外，由于三角形$ACD$和$ABC$相似，$\displaystyle\frac{AD}{AC}=\frac{AC}{AB}，$即。，

$\displaystyle\frac{1+\cos2\alpha}{2\cos\alpha}=\frac{2\cos\alpha{2}$

这是第三个公式，$\cos2\alpha=2\cos^{2}\alpha-1$

从$\Delta BCD来看，$$\displaystyle\tan\alpha=\frac{1-\cos2\alpha}{\sin2\alpha}，$；从$\Delta ACD来看，$都是以“半角公式”命名的，因为它们可以重写为

$\displaystyle\tan\frac{\beta}{2}=\frac{1-\cos\beta}}{\sin\beta{$

和

$\displaystyle\tan\frac｛\beta｝｛2｝=\frac｛\sin\beta｝｛1+\cos\beta｝$

其他半角公式由上述公式推导而来。例如，

$\displaystyle\cos\frac{\beta}{2}=\pm\sqrt{\frac{1+\cos\beta}{2}}$

和

$\displaystyle\sin\frac{\beta}{2}=\pm\sqrt{\frac{1-\cos\beta}}{2{}$

后一个公式导致了另一个公式，我相信许多人即使不漂亮也会感到兴奋。

取$\displaystyle\beta=\frac{\pi}{2}，$并回忆起$\disposystyle\\cos\frac{\ pi}{2]=0，$第一个给出（因为余弦在第一象限为正）

$\displaystyle\cos\frac{\pi}{4}=\sqrt{\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt}}{2{$

它只验证$\displaystyle\cos\frac{\pi}{4}.$的值但想法是继续：现在让$\displaystyle\beta=\frac{\alpha}{4}：$

$\displaystyle\cos\frac｛\pi｝｛8｝=\sqrt｛\frac｛1+\cos\frac｛\pi｝｛4｝｝｛2｝｝=\frac｛1｝｛2｝\sqrt｛2+\sqrt｛2｝｝$

序列中的下一项是

$\displaystyle\cos\frac{\pi}{16}=\frac{1}{2}\sqrt{2+\sqrt}2+\scrt{2}}$

和后面的那个

$\displaystyle\cos\frac{\pi}{32}=\frac{1}{2}\sqrt{2+\sqrt}2+\scrt{2+\sqrt{2]}}$

一般表达式可以猜测（如果需要，可以通过归纳)以下为：

$\displaystyle\cos\frac{\pi}{2^n}=\frac{1}{2}\下大括号{\sqrt{2+\sqrt}2+\scrt{2+\ldots+\sqrt{2}}}{n-1\space\mbox{radies}}}$

因为余弦是一个连续函数，并且$\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\pi}{2^n}=0$

$\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{2}\underbrace{\sqrt{2+\sqrt}2+\scrt{2+\ldots+\sqrt{2}}}{n\space\mbox{radies}}=1$

以类似的方式，我们可以获得

$\displaystyle\sin\frac｛\pi｝｛2^n｝=\frac｛1｝｛2｝\bunderrace｛\sqrt｛2-\sqrt｛2+\sqrt｛2+\ldots+\sqrt｛2^n｝_｛n-1\space\box｛radical｝｝$

但它导致的限制是相当出乎意料的。众所周知，$\displaystyle\lim_{x\rightarrow0}\frac{\sinx}{x}=1，其中$

$\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\sin\frac{\pi}{2^n}}{\frac{\ pi}{2\n}}=1$

并且，作为最近两个等式的组合，

$\displaystyle\pi=\lim_{n\rightarrow\infty}2^{n}\下大括号{\sqrt{2-\sqrt}2+\sqrt[2+\ldots+\sqrt{2}}}{n\space\mbox{根}}$

正弦的双角公式也导致了啮合极限，这是L.Euler首先发现的。请注意

$\开始{align}\sinx&=2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}\\&=2^2\sin\压裂{x}{4}\cos\frac{x}{4}\ cos\frac{x}}{2}\\&=2^3\sin\frac{x}{8}\cos\frac{x}}{8{cos\frac{x}{4}\cos\frac{x}{2}\\&=2^4\sin\frac{x}{16}\cos\frac{x}}{16{cos\frac{x}{8}\cos\frac{x}{4}\cos/frac{x}{2}\\&\光盘\\&=2^n\sin\frac{x}{2^n}\cos\frac{x}}{2$n}\ldots\cos\frac{x}{8}\cos\frac{x}{4}\cos/frac{x}{2}\\&\光盘\结束{对齐}$

乘以$x$，再除以$x$得到一个稍微不同的形式：

$\sin x=x\显示样式\ frac{\sin\frac{x}{2^n}}{\frac{x}}{2$n}}\prod_{k=1}^{n}\cos\frac{x}{2|k}$

其中，使用$\displaystyle x=\frac{\pi}{2}，$给出

$1=\displaystyle\frac{\pi}{2}\frac{\sin\frac}\pi}}{2^{n+1}}}{\frac\\pi}{2_{n+1{}}}\prod_{k=1}^{n}\cos\frac{\ pi}{2 ^{k+1}}$

并且，达到极限：

$\displaystyle\frac{2}{\pi}=\lim_{n\rightarrow\infty}\prod_{k=1}^{n}\cos\frac{\pi{2^{k+1}}$

考虑到前面导出的$\displaystyle\cos\frac{\pi}{2^k}$的根表达式，我们得出了Euler公式[马奥尔]:

$\displaystyle\frac{2}{\pi}=\frac{\sqrt{2}}{2}\frac{\sqrt{2+\sqrt}2}}}{2}\frac{\sqart{2+\sqrt{2}}}}{2}$

工具书类

I.M.Gelfand、M.Saul、，三角学，Birkhäuser，2001（145-152163-167）
E.Maor，令人兴奋的三角学，普林斯顿大学出版社，1998年（90140146161）
R.B.内尔森，无文字证明，MAA，1993（34-35）

三角学

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