复数的代数结构
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当你遇到二次方程时，你会遇到一个实体（或非实体），它的名字是这样写的-√-1，发音为“-1的平方根”
玛丽·埃弗雷斯特·布尔
代数的哲学与乐趣,
伦敦：C.W.Daniel，LTD，1909年
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复数是平面中的点被赋予了额外的结构。我们考虑设置R（右）2={（x，y）：x，y
R（右）},即实数的有序对集。如果相应的分量重合，则这两对是相等的：
（x）1，年1)=（x2，年2)如果x1=x2和y1=y2.
通过下面定义的两个操作-加法和乘法，集合R（右）2成为集合C类复数。R（右）2被认为是一组复数C类被称为阿尔冈图或阿尔冈平面或高斯平面.
添加
（x）1，年1)+（x2，年2)=（x1+x个2，年1+年2).
乘法
（x）1，年1)（x）2，年2)=（x1x个2-年1年2，x个1年2+x个2年1).
添加已定义组件式（componentwise）以相对标准的方式扩展到更高维的空间另一方面，乘法是复数所特有的。它只削弱了R（右）4(四元数)和R（右）8(八元数).
复数的加法和乘法具有实数加法和乘的大多数性质：
| | z+w=w+z和zw=wz | （交换性）， |
|---|
| | z+（u+v）=（z+u）+v和z（uv）=（zu）v | （关联性）， |
|---|
| | z（u+v）=zu+zv | （分配法）。 |
|---|
几个复数起着排他性的作用。例如，数字（0，0）的属性为0:
（x，y）+（0，0）=（x，y）和
（x，y）（0，0）=（0，O）。
因此，将其标识为0是很自然的。该符号与用于标识“真实”0的符号完全相同。我们很快就会发现，有充分的理由将两个零（实数和复数）视为一个相同的数字。
结果的另一个复数是（1，0）。此数字在乘法中起着重要作用，其来源于以下属性：
| （x，y）（1，0） | =（x·1-y·0，x·0+y·1） |
| | =（x，y）。 |
在复数中（1，0）的行为类似于实数中的实数单位1。再一次，有充分的理由说这两者是一体的。习惯上写(1, 0) = 1.
重要性的第三个数字是（0，1）。它具有负正方形的显著特征。更准确地说，
| （i） |
| (0, 1)(0, 1) | = (0·0 - 1·1, 0·1 + 1·0) |
| | = (-1, 0). |
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在工程科学中，数字（0，1）有时表示为j。在其他地方，标准表示为i：i=（0，1）。乘以i有一个奇怪的效果：
| （x，y）（0，1） | =（x·0-y·1，x·1+y·0） |
| | =（-y，x）。 |
如果你比较平面上的两个点（x，y）和（y，-x）（即使对于hust来说是一些特定的a和y值），并将它们连接到原点，你就能观察到这两个线段彼此垂直。此外，后者是通过旋转90°从前者获得的o个在中积极的(逆时针)方向。
复数理论可以完全用代数术语来发展，例如，朗道然而，通常，无论是在初级还是高级水平上，从几何直觉中绘画都是非常有用的。数字（x，0）对应于水平x轴上的点。如果没有y轴的存在，水平面上的点数字线将与普通实数关联。对应于的点（x，0）将被视为实数x。因此，识别同一点的两个表示是很自然的：
注意，之前我们已经对x=0和x=1进行了此操作。标识（1）也在代数上得到支持。对于代数上的x和（x，0）无法区分：
（x）1，0）+（x2，0）=（x1+x个2，0）和
（x）1，0）（x2，0）=（x1x个2, 0),
就好像第二个组件（0）不存在一样。考虑到（1），我们可以写
| （x，y） | =（x，0）+（0，y） |
| | =（x，0）+（y，0）（0，1） |
| | =x+yi， |
它被称为代数形式复数（x，y）：
x+yi=（x，y）。
使用（1），我们很容易将复数乘以实数：
r（x，y）=（r，0）（x，y）=（rx，ry），
自然。当然，这并没有什么新的东西，只是引入了方便的符号。在代数形式中，加法和乘法被重新定义为
（x）1+年1i） +（x2+年2i） =（x1+x个2)+（y1+年2)我和
（x）1+年1i） （x）2+年2i） =（x1x个2-年1年2)+（x1年2+x个2年1)i、。
没有（1），i2将永远保留（-1，0）。考虑到（1）我们获得了著名的身份
| (2) | 我2= (0, 1)2= (-1, 0) = -1. |
嵌入集合的可能性R（右）实数的复数集C类，如（1）所定义的，可能是复数中最重要的一个性质。因为，如果没有（1）和（2），复数理论就不会完成收尾工作到了推动其发展的代数分支，即多项式方程根的搜索。
复数z=x+yi的两部分有特殊的符号：
x=Re（z），y=Im（z。
复数的实部和虚部都是实部，任何复数都可以写成
z=Re（z）+i·Im（z。
Re和Im是助记符重新al和伊姆河阿吉纳利。两者都不比另一个更真实或更虚构。在复杂平面中，轴也被称为真实的和想像的，尽管两者都是真实的，以至于区分两者的唯一方法是通过方向：从实轴到虚轴的旋转是逆时针进行的。实数部分为0的复数，即形式为yi的数字，对于某些实数y，称为纯粹虚构的.
对于每个复数（x+yi），我们将另一个复数（x-yi）联系起来，称为其结合数字z的共轭词通常用一条横线表示，有时在其右侧用星号表示，有时用撇号表示，甚至很少用普通符号Conj表示，如
Conj（z）=z*=z'=z（z）.
出于技术原因，我更喜欢使用最不常用的符号z'或Conj（z）：
Conj（x+yi）=（x+yi）'=x-yi。
共轭物的重要性源于以下事实：
（x+yi）（x+yi）'=（x+yi）（x-yi）=x2+年2,
对于任何复数z=x+yi，它都是非负实数。这个数字的非负平方根称为模数，模量或绝对值复数z的：
从勾股定理，|z|是到z表示的点（或具有复坐标z和实坐标的点）的距离（x，y））到原点0。一般来说，|z-u|是点z和u之间的距离。
这个操作人员Conj是一个对合，其平方是恒等运算符：
Conj（Conj（z））=z’’=z
因此
|z（z）|2=z·z'=|z'|2.
阿尔索
（zw）'=z'·w'，
容易接受直接验证。模数的定义与实数绝对值的定义一致：
|（x，0）|=|x|。
此外，它还具有以下几个重要特性：
| （米1) | |当z=0时，z|=0。 |
| （米2) | |zw|=|z|·|w|。 |
| （米三) | |z+w|≤|z|+w|。 |
后者被称为三角形不等式在几何学上，这是从欧几里得继承下来的特征。它可以从Argand图中获得，即通过参考平面上的点识别复数三角形不等式在欧几里得平面上有效。它也可以是代数推导的.（米1)遵循定义.（米2)是由于基本法律
| |兹瓦|2 | =（zw）·（zw |
| | =z·w·z’·w’ |
| | =[z·z']·[w·w'] |
| | =| z|2·|w个|2 |
| | =（|z|·|w|）2. |
特别是，对于实数r>0，|rz|=r|z|，对于任何复数z。
因为|z|是到原点的距离，所以|z|=1是以原点为中心的单位圆的方程。单位圆上的点与角度相关联，使得这些点并且只有它们具有形状（科斯一，罪过一)，对于某个角度一这不是唯一确定的。作为复数，单位圆上的点具有以下形式
z=余弦一+我·罪一.
对于任何z≠0，|z/|z||=1，这意味着z/|z |位于单位圆上，因此对于某些一。如果我们表示|z|=r，那么z可以写成
它被称为三角形式复数的，其极坐标表示.
如果z≠0且一1和一2满足（3），则它们相差2倍第页:
一1-一2=k·2第页,
其中k是整数。换句话说，
一1=一2（模块2第页).
有一种独特的一[0, 2第页)，表示从0到2的半开区间第页其中包含0，但包含2第页不是。这个一被称为论点z的值表示arg（z）：
z=|z|·（cos（arg（z））+i·sin（arg，
其中arg（z）[0, 2第页). 零未分配参数。因此，复数的参数是有限区间内的实数。这个扩展参数数字z的Arg（z）是设置与arg（z）模2同余的所有实数第页:
| | 氩气（z） | = {一:一=arg（z）（模块2第页))} |
| | | ={arg（z）+k·2第页：kN个}. |
以便
z=|z|·（cos(一)+i·sin(一))，对于任何一Arg（z）。
显然，i=（0，1）在复数理论中起着特殊的作用。根据正弦和余弦的性质，arg（i）=第页/2.此外，
| i·（x，y） | =（0，1）·（x，y） |
| | =（0·x-1·y，0·y+1·x） |
| | =（-y，x）。 |
作为两个向量处理，（x，y）和（-y，x）可以立即看出是正交的，后者通过旋转第页/正向2。
（有一个动态图解复数的性质和这里讨论的运算。）
工具书类
- T.Andrescu、D.Andrica、，从A到…的复数。。。Z轴，Birkhäuser，2006年
- C.W.道奇，欧几里德几何与变换，多佛，2004年（1972年版重印）
- 梁申汉，复数与几何，MAA，1994年
- E.朗道，分析基础，切尔西出版社，3第个1966年版
- C.茨威克，平面曲线的高级几何及其应用2005年，多佛
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