无穷小。非标准分析

早期历史微积分是关于无穷小的故事。从牛顿和莱布尼茨开始^第个世纪，几乎所有伟大的数学家都试图证明使用无穷小是正确的，但都没有成功；直到19世纪^第个世纪，无穷小最终从数学中消失，取而代之的是Weierstrass的ε-δ定义的限制.

（顺便说一句，数学教育者经常把韦尔斯特拉斯的定义作为微积分的一部分，对初学者来说尤其困难。例如[贝林霍夫和古瓦关于Weierstrass，第49页]，他写道，“他的清晰、精确的定义消除了微积分中的任何神秘或几何直觉，使其建立在只依赖代数和算术的逻辑基础上。不过，新方法并不容易，因为必须学习他的“ε-δ”极限方法的学生仍将证明这一点我相信没有准备的人什么都不容易。微积分应该是解决某些类型问题的方法的工具箱。这就是数学家和物理学家之前使用它的方式，当然，从那以后，牛顿和莱布尼茨也将其公式化了。“清晰、准确的定义”的位置是分析，这是微积分的一个基础部分，有数学倾向的学生正在学习。）

20年非常引人注目^第个在1959-1960学年期间，以色列耶路撒冷希伯来大学的亚伯拉罕·罗宾逊在普林斯顿高等研究院休假，成功地在极好的逻辑基础上创建了一个无穷小理论，该理论较少依赖于代数和算术，但更多地依赖于对数学这一方面的理解，即利用形式语言来描述理论及其模型。罗宾逊建造的非标准分析紧接着挪威人索拉夫·A·斯科利姆、俄罗斯人安纳托利·马尔采夫、美国人利昂·A·亨金和德国/美国人库尔特·哥德尔早些时候完成的工作[戴维斯和赫什第249页]。

理解Robinson方法的关键是数学逻辑和模型理论。数学逻辑[标记第635页]是对形式语言用来描述数学结构这些概念值得进一步阐述。以下只是一个简短的介绍性概述。

A类形式语言包括一组形成有效句子的规则。A类理论（在某种语言中）是用该语言形成的句子的集合。数学结构是模型或对这些理论的解释。例如，一种语言可以用来描述群论，其中包括一些逻辑符号和变量，以及一个用于单个二进制运算的符号，而不同的群可以作为群论的模型。对于某种语言中的理论和句子，一个有意义的问题是，这个句子是否可以按照语言的规则在理论中推导出来。换句话说，可以询问一个句子是否有证明在理论上。（A）证明是有限步数的演绎。）在一个模型中，一个句子可能是真的，也可能不是。因此，一个句子可能是也可能不是一个理论的逻辑结果，也可能在该理论的一个或多个模型中是真的，也可能不是真的。

哥德尔完备性定理声明，对于某种类型(一阶精确地说，一个句子可以在一个理论中得到证明，当且仅当它在该理论的每个模型中都是正确的。

有模型的理论（即理论中所有句子都为真的模型）称为可满足的一种不可能导出矛盾（即句子及其否定）的理论是一致的一个可满足的系统必然是一致的。如果它不可满足，那么相关语言中的每个句子都是可证明的（因为没有模型可以证明它是错误的）。特别是，在一个不可满足的理论中，一个矛盾是可以证明的，这表明该理论是不一致的。这一观察结果导致

紧致性定理它表明一个理论是可满足的当且仅当每个有限子理论都是可满足。这是因为，如果一个理论是不一致的，也就是说，如果有可能推导出一个矛盾，那么这个矛盾就是一个有限的子理论的结果，这意味着后者没有模型。但是，如果一个子理论没有模型，那么这个理论也不能有模型，因此在这种情况下，这个理论是不可满足的。

现在是时候冲压线:紧性定理直接暗示了无穷小和无穷大数的存在！

工具书类

W.P.Berlinghoff、F.Q.Gouvêa等人，历代数学，Oxton House Publishers，2002年
P.J.Davis和R.Hersh，数学经验Houghton Mifflin公司，1981年，237-254
伊藤，非标准分析(293)，英寸数学百科全书词典第1版，麻省理工学院出版社，2000年（第四次印刷），第1100-1103页
D.标记，逻辑与模型理论，T.Gowers（编辑），普林斯顿数学指南普林斯顿大学出版社，2008年，第635-646页
A.罗宾逊，非标准分析，普林斯顿大学出版社（修订版），1996年
I.斯图尔特，非标准分析在R.Courant和H.Robbins中，数学是什么？，牛津大学出版社，1996年，第518-524页
I.斯图尔特，非标准分析，英寸从这里到无限：今天的数学指南牛津大学出版社，1996年，第80-81页。

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