模型与元数学
全部数学理论就它们基于公理系统和演绎规则而言，是抽象的结构。例如，在抽象级别上射影几何，无法区分点和线这两种对象。数学理论中的句子既不是真的也不是假的，只是可推断的（可推导、可证明）或不可。
然而，数学既没有发展，也没有用作抽象概念。在实践中，抽象仅被用作数学知识的交流和分类手段。为了推导和创新发展，数学家依靠直觉来解释其他抽象对象。这些理论仍然是抽象的，但通过解释，它们获得了超越其正式背景的意义。除了语法（形式规则）之外，解释还赋予理论以语义学使理论中的句子成为对或错是有意义的。
理论及其解释之间的关系可以并且已经形式化，从而形成以数学理论为主题的数学理论。因此，前者通常被称为元数学-数学的一部分，涉及数学基础、理论和模型。A类模型是一种具有解释能力的数学理论。一个理论可能有许多模型，因为它的对象可以用多种方式解释。
带有加减运算的所有整数集是抽象群论，就像所有带乘法运算的非零有理数集一样。有一组矩阵、函数、代数曲线的点，你可以说出它们的名字。
理论和模型之间的关系很简单：理论中可以推导的句子，在任何模型中都可以推导。一经解释，派生句就成立了。在理论上能够证明句子的否定，这使得它在任何解释中都是错误的。对于一阶理论，一个更强的结果成立。对于一阶理论中不可形式推导的句子，有一个理论模型，其中对句子的解释是错误的。这被称为哥德尔完全性定理.
一种不可能从逻辑上导出矛盾的理论，即句子及其否定，被称为一致的一种理论被称为可满足的如果它承认一个模型（其中所有的句子都是真的。）由于在任何可能的解释中，矛盾都是假的，所以每个可满足的理论都是一致的。在不可满足的理论中，即不允许任何模型，任何句子都是可推导的，因为在任何模型中它都可能是假的。特别是，矛盾是可以推导的，这意味着这样的理论不可能是一致的。
以上内容很好地说明了元数学是关于什么的。但是，让我们把刚刚介绍的概念立即应用起来。
在欧几里得几何中，有一条线平行于一条给定的线，并穿过一个给定的点（而不是在一条给定的线上）。在洛巴切夫斯基和博利亚伊的几何中，这样的线的数量是无限的。有矛盾吗？不，也不是第五个假设它的否定也不能从绝对几何此外，欧几里德几何中有洛巴切夫斯基-博莱几何模型，这意味着，只要欧几里得几何是一致的，洛巴切夫斯基-博莱伊几何也是一致的。
这类模型有三种众所周知的。在两种模型中，点的概念被解释为打开圆盘，即距离固定点小于给定半径的一组点。让我们称这个圆盘为Γ。
第一个模型由E.Beltrami于1868年提出，后来由F.Klein推广。该模型中的线是Γ的任意弦（减去端点）。只有一条线穿过任意两点P、Q，并且有无穷多条线穿过给定点X平行于PQ：
为了阐明这个结构的重要性，让我们在这个模型中调用点h点（提醒大家，Lobachevsky-Bolyai的几何也被称为双曲线）hlines公司、圆圈h圆形，角度飞机棚点与点、线与线、圆与圆之间几乎没有区别，角与吊架之间也没有区别。不同之处（如果有）在于模型的元素仅限于Γ：hpoints是位于Γ内的点，hlines是位于Г内的公共（直线）线的一部分，而hcircles是相同的。完全位于Γ内的圆是一个c圆；否则，hcircle是Γ内圆的弧。
让我们检查一下欧几里德假设. The第一个说任何两点都可以用一条直线连接起来。对于hpoint和hline，这一点显然成立。
这个第二假设表示一条（有限的）直线可以在其端点以外产生。这对于hlines是正确的，因为Γ的边界上的点被排除在考虑之外；它们在这个模型中不存在。让欧几里德线PQ与S和T中Γ的边界相交。然后，通过在S和P或Q和T之间选择任意点，可以将hline PQ扩展到P和Q之外（并且有很多点）。这个过程可能永远不会结束，因为它永远不会导致S或T本身。
这个第三假设说可以描述一个任意圆心和半径的圆。这在欧几里德几何中是可能的。
这个第四假设说所有直角都相等。再一次，这对机库来说是正确的，只要角度是正确的。
这个第五假设显然不成立。
这一切将我们引向何方？首先，假设欧几里德几何一致，Beltrami-Klein模型的存在意味着双曲几何的一致性，其中通过给定点的给定线有许多平行线。其次，我们可以得出结论，第五个假设不是前四个假设的逻辑结果。如果是这样的话，在绝对几何的每一个模型（即建立在前四个公设之上的几何）中都是如此。贝尔特拉米-克莱因模型是一个不这样的模型，这意味着第五个公设与前四个独立。
值得注意的是，在上面我们同时研究了两个形式理论（基于四到五个欧几里德假设的形式几何）2包含理论T的所有公理1还有一些，我们说T2是更富有的比T1重要的是要理解任何一个更丰富的理论模型2也是T的模型1自然，理论中可以证明的任何句子也可以在任何更丰富的理论中证明。
如前所述，Γ中还有另一种双曲几何模型不同于Beltrami-Klein的模型，尽管这一模型也限于Γ。该模型由H.Poincaré开发。现在这些线是与Γ正交的几段圆。
双曲线几何的第三个模型嵌入到上半平面中，同样排除了边界（x轴）。直线是以x轴为中心的半圆。当然，一个这样的模型就足以实现双曲线几何的（相对）一致性。
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工具书类
- R.Courant、H.Robbins、，数学是什么？，牛津大学出版社，1996年
- D.标记，逻辑与模型理论，T.Gowers（编辑），普林斯顿数学指南普林斯顿大学出版社，2008年，第635-646页
- A.罗宾逊，非标准分析，普林斯顿大学出版社（修订版），1996年
- R.M.Smullyan，一阶逻辑1995年，多佛
- I.斯图尔特，现代数学概念1995年，多佛
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