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使用Java小程序的交互式专栏
亚历克斯·博戈莫尼
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什么、如何和网络
1999年8月
误解往往非常强烈，不符合逻辑论证。有时，当所有其他资源都耗尽而没有结果时，我会被雷蒙德·斯穆利安（Raymond Smullyan）的一个故事所吸引公元前5000年和其他哲学幻想.
一位现代哲学家曾经有一个梦想，在这个梦想中，历史上所有著名的哲学家都出现了，并一一概述了他们的理论。听了亚里士多德的演讲后，这位哲学家提出了一项反对意见，这让这位著名的希腊人大惑不解。睡着的人随后注意到，柏拉图和其他哲学家也有同样的观点。哲学家被他的发现的普遍性惊呆了，他醒了过来，拖到桌子前，草草记下了论点，然后就睡着了。早上的第一件事，他焦急地跑到桌子前查阅他的笔记。它是，“这就是你说。"
这个论点正如广告所说的那样有效，但我只是把它作为最后的手段。
我收到了一些对我六月专栏的回复，位置值这引发了《新数学》（New Math）的一个幽灵，质疑推广场所价值主题是否明智。以下是一个示例：
在新数学期间，实际上教授了使用不同的基础。这是对数百万学生时间的可怕浪费。当他们试图在第7个碱基中写出325时，他们并没有学习乘法表。当《新数学》被抛到一边时，不同的基础算术也被抛到了一边，很好地摆脱了它。
两个问题之间存在明显的混淆，什么教学和怎样《新数学》未能呈现特定主题是否意味着教授该主题毫无价值？《新数学》体现了什么数学和怎样教学方法论（更不用说它的哲学观）。如果只是为了讨论，就不能把它们分开吗？否则，如何解释《新数学》涵盖的更传统的主题在其衰落中幸存下来？
当然，还有其他因素加强了职位制度与新数学失败之间的公众联系。另一封信指向其中一位：
更多的学生感到困惑，而不是开明，当孩子们向他们寻求家庭作业帮助时，家长们对显得如此无知感到愤怒。
在日本，据说[加德纳，第103页]日本教育家铃木慎一发明了一种教孩子们拉小提琴的绝妙方法。除此之外，孩子们通过看妈妈拉小提琴来学习。鼓励不拉小提琴的母亲学习小提琴，并至少领先孩子一节课。”无论是数学还是小提琴，父母的参与总是有帮助的。阅读美国人成功的故事.
新数学的创伤已经过去三十年了。已经发生了很大的变化，更多的变化即将到来。随着网络和计算机的普及以及软件技术的进步，教育必将变得更加个性化。呈现教育材料的新方法正在变得司空见惯。新的教学技术可能会在旧技术失败的地方取得成功吗？当然可以。谁会马上否认这种可能性？
位置系统为数学内容的发展提供了肥沃的土壤。谜题自我记录句子六月的专栏中只是一个例子。理解（并可能享受）这个谜题所需要的只是理解分组计数是最容易的记录在位置上符号，基数是最大的组大小。不需要掌握从基数10到另一基数的转换技术。
我认为，选择一个学习、上网或纳入课程的主题只有一个很好的标准：这个主题有数学内容吗？如果是这样，我们有一个很好的候选人来回答什么问题。根据面向对象的思维方式，这是首要问题。关于怎样是次要的，一个好的通用答案是“以最合适的方式向什么问题。“由于缺乏更好的论证，我诚挚地提及斯穆利安的报价任何一个认为位置计数不是对什么问题。另一方面，我会重视以下方面的任何建议怎样最好提出这个话题。
这里有另一个角度来看待这种情况。幼儿园和学校收集和展示各种自然物体和文物，表面上是为了引起孩子们的好奇心。在好的学校里，鼓励学生触摸和实验这些物体。在最好的学校[加德纳，第87页]整个课程可能基于调查，这些调查往往是偶然遇到有趣的物体或现象而产生的。网络使这个想法更进一步。这是一个巨大的存储空间，向世界各地好奇的人开放，供他们进行搜索和实验。越多，就越有机会吸引其他男孩或女孩的注意。不必去商店数零钱或卡路里。每周7天，每天24小时。欢迎大家触摸和实验。
不久前，一个年轻人写信给我，问我以5为基数的乘法是如何工作的。由于他声称熟悉十进制和二进制系统，所以他只想计算出一个例子，即364乘以23。我注意到364不是以5为基数的数字，因为只允许数字0到4；除此之外，没有太大区别。乘法算法与其他基中的算法完全相同。从回信中得知，这句话起到了作用，这也让我感到疑惑。在这个男孩学习十进制的那些年里，在他学习二进制的那些周里，是不是没有适当的时间来提及什么是位置计数？
正如希伯来人常说的那样，
-维迪·莱哈姆&对智者来说足够了。
以下（与上述无关）示例取自Martin Gardner的数学游戏中的列科学美国人1959年12月，v 201，No 6。（我很感谢诺曼·桑托拉给我寄来了他未发表的手稿数学乐趣提到加德纳的文章。）
画几条垂直线和几条水平线（梭子）来连接垂直线对。对于每一条垂直线，从顶部开始，向下追踪该线。无论在何处遇到梭子的一端，请水平追踪此梭子直到其另一端。从那里，再次向下旋转，并以这种方式继续，直到到达其中一条垂直线的底部。这个过程的有趣之处在于，从两行的顶部开始，一行总是以不同的“底部”结束。这个特性在一些情况下具有实用价值。
一个明显的做法是在N名学员之间公平分配N项任务（或零食）。有时，一个小组只分配一项任务，但任务太小，为了避免踩到对方的脚，小组可能会决定只有一个人来执行。哪一个？更一般地说，K个工作可以在N个人之间分配，其中1≤K≤N.
作为一项课堂活动，不用说，小组的所有成员都要参与图表的准备：画线、贴标签和放航天飞机。
（在下面的小程序中，要绘制梭形图，请将光标从一行拖动到另一行。要验证分配，请选择“验证”按钮，然后依次单击每条垂直线。）
对“无线融合”现象的一个非常直观的解释来自于对谜题的物理模拟。把每条垂直线想象成一根绳子，用梭子指示两根绳子的交叉点。由于绳子只能交叉而不能合并，因此可以通过计算绳子的上端或下端来找到绳子的数量。这两种情况的结果是相同的。
拼图提供了一组简化模型编织绳索。由于两根绳子可能以两种不同的方式交叉，这取决于哪根绳子在另一根绳子的下面，因此简化了模型。航天飞机无法区分这两种可能性。
另一种看待这个谜题的方法是关注每个航天飞机的效果。与在小程序中一样，标记垂直线的上端。在两条线之间画一个梭形会导致下端的标签交换。抽象地说，我们得到了两组（有序的）标签：顶部标签和底部标签。在没有穿梭机的情况下1-1通信在两组之间。每个梭子影响标签顺序，但不影响其数量，从而在集合之间建立另一个1-1对应关系。我们可以自上而下一个接一个地跟踪航天飞机。第一个梭子重新排序顶部标签，第二个梭子因此重新排序标签，第三个梭子更改在第二个梭子之后获得的标签顺序，依此类推。由于没有单个梭子改变两组标签之间存在1-1对应关系的事实，因此一个梭子可以与任意数量的梭子获得1-1对应。
自下而上的方法导致了一个归纳论点：假设n-1航天飞机在两组标签之间保持1-1的对应关系。由于第n架航天飞机也是如此，所以任何n架航天飞船都是如此。
任何重新排序操作的数学术语都是置换。只交换两个元素的简单置换称为换位依次执行几个换位（或者，就这一点而言，置换）会导致一个新的置换。同一组指数的所有排列形成一个组属于排列。该组是多重的及其分组操作-两个排列的顺序执行称为产品。每个排列都是换位乘积.
这是另一个很好的回答什么问题。易于理解，实验有趣，并且有大量的数学内容。它甚至可以作为置换群理论的导论。我很满意能在网上举一个这么好的例子。为了结束讨论，有一个小问题是为那些偶然发现本页的男孩和女孩准备的。
在小程序中，顶部的索引由蓝线连接，底部的索引由对应的蓝线连接。我们打这种电话吧行程证明每艘航天飞机都有两条经过的路线。一条从左到右，另一条从右到左。至少考虑几个证据。
工具书类
- H.加德纳，自律的心灵Simon&Schuster，1999年
- R.Smullyan，公元前5000年和其他哲学幻想《圣马丁出版社》，1983年
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