序列中的符号和和

在一个数字序列中，任何连续三项之和为正。所有条件的总和有可能是负数吗？[沙波瓦洛夫，第15页]。

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A.Shapovalov，狭窄通道原则（俄语），ISBN 5-94057-234-02006，第24页。

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在一个数字序列中，任何连续三项之和为正。所有条件的总和有可能是负数吗？

解决方案

答案（是或否）取决于序列的长度（比如N）。如果N可以被3整除，那么答案就是一个不合格的N。实际上，在这种情况下，总数是由三项之和组成的。

让我们考虑N=1（mod 3）的情况。我们可以用各种方式将序列分成连续的三个三元组，时间留下一个必然为负的项。这使得位置1、4、7。。。，N为负值。其余的可能是积极的。假设所有的负项都等于-x，x>0，且所有正项等于y，y>0。我们需要满足两个不等式：

-x+2y>0，
-Kx+（N-K）y<0，

其中K=[N/3]+1，括号是楼层功能。请注意K>N/3，以便N-K<2 N/3因此，1<（N-K）/K<2。那么，如果我们能找到满足

(1)	2y>x和 x<[（N-K）/K]年

问题就会得到解决。但有很多双（x，y）满足（1），例如。，(4, 3)适用于N=4和（9，5）对于N≤25。

如果N=2（mod 3），对价就不会那么顺利。然而，解决方案似乎确实存在。例如，对于N=8，我们有序列-8，4，5，-2，-2，5，4，-8；对于N=11，序列-10、4、7、-5、-1、7、-1、-5、7、4、-10。

这个问题实际上比听起来更简单。W.McWorter观察到-1, -1, 2.1, -1和顺序-1, -1, 2.1, .1, -1也就是说，当N不能被3整除时，答案是肯定的。我们甚至可以通过附加三元组的K个拷贝来扩展这些序列-1、2+e、-1、，其中e是一个正数，使得Ke<.8，提供任意长度的序列N>3不能被3整除，所以答案仍然是肯定的。

内森·鲍勒（Nathan Bowler）还指出，如果n不是0模3，我们很容易找到一个序列，其中3个连续项的所有和都是正的，但所有项的和都是负的。

首先我们有一个明显的简化条件：序列必须是周期3的周期。假设前三个术语是a、b和c。我们必须有a+b+c>0，所以接受a+b+c=1。

假设现在n=3k+1。那么我们还需要a+k<0。所以接受a=-k-1。现在我们只需要b+c=k+2。例如，让我们，b=k， c=2。

另一方面，如果n=3k+2，我们需要a+b+k<0。所以接受a=-k， b=-1， c=k+2（例如）。该方法显然适用于类似的问题，例如，当每个连续的4项集合的和必须为正时。

备注

在数字的循环排列中，情况完全不同。如果我们将所有连续三元组的总和相加，结果将是总和的三倍，因此，如果所有这些总和都为正，那么后者必然为正。

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