棋盘上的矩形

在棋盘上画一个矩形，其边与棋盘的边平行。一个足够小的矩形可以包含在一个棋盘格中，但一般来说，矩形将包含两种棋盘颜色的区域。是否有条件保证这些地区的面积相等？

这个问题可以用概率的术语重新描述：给定的矩形被随机放置在棋盘上，两边平行于棋盘。它包含相同数量的两种颜色的概率是多少？

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如果applet不运行怎么办？

几句话.

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当且仅当两个条件之一成立时，具有平行于棋盘边的矩形覆盖两种颜色的相等区域：

矩形的一条边是棋盘方格边的偶数倍。另一侧的尺寸无关。
矩形的中心位于网格线上。

（我感谢内森·鲍勒指出声明的初始变体中的一个遗漏。内森继续讨论在别处.)

为了简单起见，我们将任何线段称为长度为正方形边长的两倍即使.

充分性（“如果”部分）非常明显。比方说，如果矩形的垂直尺寸是正方形边的两倍，那么在不同颜色的矩形段的每个垂直横截面中，其长度加起来是相同的。此外，如果矩形的中心位于网格线上，则对称性也适用。

小程序显示，每个矩形最多可以分为三个：一个水平尺寸均匀，一个垂直尺寸均匀，还有一个两个尺寸都小于2。

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如果applet不运行怎么办？

因此，显示必要性的问题，即“仅当”部分，简化为显示在边长小于2的矩形中，如果矩形的中心不在网格线上，则一种颜色比另一种颜色多。有三种典型的可能性：

在所有情况下，

0<x₁，x个₂<1和0<y₁，年₂< 1.

也，

0<x₁+x个₂< 1

在第一种情况下，以及

0<年₁+年₂< 1

在情况1和情况2中。

如果A₁和A₂是矩形内浅色和深色区域的总面积，那么，在第一种情况下，我们得到

一₁=x₁+x个₂+年₁+年₂.
一₂=（x₁+x个₂)（年）₁+年₂) + 1.

两者的区别是

一₁-A类₂=-（x₁+x个₂-1）（年₁+年₂- 1),

它永远不会是0。

在第二种情况下，我们得到

一₁=x₁年₁+x个₂+x个₁年₂=x₁（年）₁+年₂)+x个₂.
一₂=x₂年₁+x个₁+x个₂年₂=x₂（年）₁+年₂)+x个₁.

两者的区别是

一₁-A类₂=（x₁-x个₂)（年）₁+年₂- 1),

iff x可能为0₁=x₂即，在排除的情况下，矩形的中心位于网格线上。最后一个案例的处理方式类似。

由于中心位于网格线上的随机矩形的概率为零，概率重铸有一个意外的解决方案：对于具有即使侧面，概率为1；对于不幸的矩形，概率为0。

上述命题是证明（由R.Rochberg和S.K.Stein）一个起源于最近的奇怪定理的基础。

定理

每当一个矩形由具有平行边的矩形平铺时，每个矩形都至少有一个整数边，那么环境矩形至少有一个整数边。

证明

这是下列十四项中的第三项证明S.货车1987年。

把长方形想象成放在棋盘上，小正方形边的长度为1/2个单位。棋盘可以看作是一个1/2×1/2的网格。假设左下角位于该网格的一个节点。根据上述命题，每个棋盘都有相等数量的两种颜色。因此，平铺的矩形也有相等数量的两种颜色。这个命题意味着定理：覆盖两种颜色相等面积的矩形必定至少有一条偶数边，即长度是小正方形边（1/2）的两倍的边。这个论点很奇怪：对于网格点处有角的矩形上述两个条件是等效的。但是，正如我们所知，至少其中一个是成立的。两者都是这样。

（讨论了Stan Wagon的文章发表后发现的另一个证据在别处。还有一个简单证明通过数学归纳法.)

工具书类

S.货车，平铺矩形结果的十四种证明,美国数学月刊，第94卷，第7期（1987年8月至9月），601-617。

整数矩形

几何概率

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