改进的Cross-Sperner系统的界

摘要

系列集合$（\mathcal{F}（F）_{1} ，\mathcal{F}（F）_{2} ，\cdot，\mathcal{F}（F）_{k} ）\in\mathcal{P}（[n]）^k$是交叉斯珀纳如果没有一对$i\not=j$的$F_i\in\mathcal{F} _ i$相当于某些$F_j\in\mathcal{F} _j（_j）$. 衡量这样一个家庭“规模”的两个自然指标是总和$\sum_｛i=1｝^k|\mathcal{F} _ i|$和产品$\prod_{i=1}^k|\mathcal{F} _ i|$. 对于一般的$n$和$k\ge 2$，我们证明了这两个度量的新上界和下界，它们大大改进了以前的最佳上界。特别是，我们构建了一个丰富的反例家族，以应对2011年Gerbner、Lemons、Palmer、Patkós和Szécsi的猜想。