着色不可避免模式与平衡图

摘要

研究边着色完全图上的Turán型问题。我们证明了对于任何$r$和$t$，任何具有$\Omega（n^{2-1/tr^r}）$edges的$n$顶点上的足够大的$r$-edge-colored完备图都包含来自某些有限族$\mathcal的一个成员{F} _（t）^r$的$r$-边着色完全图。我们推测，每种颜色的$\Omega（n^{2-1/t}）$边足以从${\mathcal{F}}_t^r$中找到一个成员。当$r=2$时，Giráo和Narayanan的结果证实了这个猜想。

接下来，我们研究了一个相关的问题，其中对应的Turán阈值是线性的。如果每种颜色在着色中出现$k$次，我们称路径$P_{rk}$的边着色为平衡的。我们证明了每种颜色中有$kn+o（n）$条边的大型完整图的任何$3$-边着色都包含平衡的$P_}3k}$。这是一个紧到$2$的常数因子。对于更多的颜色，这个问题变得异常微妙。对于$r＝7$，我们已经证明，即使来自每种颜色的$n^{2-o（1）}$边也不能保证平衡的$P_{7k}$的存在。