随机图的总捕获数

摘要

假设$G$是一个图，其中每个顶点的初始权重为1。在每个步骤中，可以将权重从顶点$u$移动到相邻顶点$v$，前提是$v$上的权重至少与$u$上的重量相同。总采集数$G$由$a_t（G）$表示，是过程结束时具有正权重的顶点集的最小可能大小。

勒索尼尔、普林斯、温格、韦斯特和沃拉要求$p=p（n）$的最小值，这样$a_t（\mathcal{G}（n，p））=1$的概率很高，其中$\mathcal{G}（n，p）$是一个二项式随机图。我们证明了$p=\frac{\log_2n}{n}\大约1.4427\\frac{.logn}{n}$是该属性的一个锐利阈值。我们还证明了几乎所有树$T$都满足$a_T（T）=\Theta（n）$，从而证实了West的一个猜想。