一致超图1-2-3猜想的弱和强版本

摘要

给定一个$r$-一致超图$H=（V，E）$和一个权重函数$\omega:E\to\{1，\dots，w\}$，由~$\omega$诱导的~$H$顶点的着色由$c（V）=\sum_{E\niv}w（E）$定义，用于V$中的所有$V。如果存在这样一种强着色（这意味着在每个边上没有颜色出现多次），那么我们说$H$是强$w$加权的。类似地，如果着色较弱（这意味着没有单色边缘），那么我们说$H$是弱$w$加权的。在本文中，我们证明了几乎所有的3或4一致超图都是强2加权的（但不是1加权的），几乎所有的$5$-一致超图要么是1或2强加权的（具有非平凡分布）。此外，对于$r\ge6$，我们证明了几乎所有$r$一致超图都是强1-加权的。我们通过证明几乎所有的3-一致超图都是弱2-加权但不是1-加权的，并且对于$r\ge 4$，几乎所有的$r$一致超图是弱1-加权的来补充这些结果。这些结果扩展了Addario-Berry、Dalal和Reed以前的图形工作。我们还证明了一般下界，并证明了存在非强$（r^2-r）$加权和非弱2-加权的$r$-一致超图。最后，我们证明了确定一个特定的一致超图是否是强2-加权的NP-完全。