线性回归
解决方案中的问题
审查
-
问题1 考虑以下一组点：{（-2，-1），（1，1），（3，2）} a） 找到给定数据点的最小二乘回归线。 b） 在同一矩形轴系中绘制给定点和回归线。
-
问题2 a） 找到以下数据集的最小二乘回归线
{(-1 , 0),(0 , 2),(1 , 4),(2 , 5)} b） 在同一矩形轴系中绘制给定点和回归线。
-
问题3 y值及其对应的y值如下表所示
x个 0 1 2 三 4 年 2 三 5 4 6 a） 求最小二乘回归线y=a x+b。 b） 当x=10时，估算y的值。
-
问题4 公司每年的销售额（单位：百万美元）如下表所示。
x（年） 2005 2006 2007 2008 2009 y（销售额） 12 19 29 37 45 a） 求最小二乘回归线y=a x+b。 b） 使用最小二乘回归线作为模型来估计公司2012年的销售额。
上述问题的解决方案
a） 让我们把数据组织在一个表中。
x个 年 x年 x个 2 -2 -1 2 4 1 1 1 1 三 2 6 9 ∑x=2 ∑y=2 ∑xy=9 ∑x 2 = 14 我们现在使用上述公式计算a和b，如下所示 a=（n∑x y-∑x∑y） 2 -（∑x） 2 ) = (3*9 - 2*2) / (3*14 - 2 2 ) = 23/38 b=（1/n）（∑y-a∑x）=（1/3）（2-（23/38）*2）=5/19 b） 现在，我们绘制由y=ax+b和给定点给出的回归线。 
图3。 问题1中的线性回归图。 a） 我们使用的表格如下
x个 年 x年 x个 2 -1 0 0 1 0 2 0 0 1 4 4 1 2 5 10 4 ∑x=2 ∑y=11 ∑x y=14 ∑x 2 = 6 我们现在使用上述公式计算a和b，如下所示 a=（n∑x y-∑x∑y） 2 -（∑x） 2 ) = (4*14 - 2*11) / (4*6 - 2 2 ) = 17/10 = 1.7 b=（1/n）（∑y-a∑x）=（1/4）（11-1.7*2）=1.9 b） 现在，我们绘制由y=ax+b给出的回归线和给定点。 
图4。 问题2中的线性回归图。 a） 我们用表格计算a和b。
x个 年 x年 x个 2 0 2 0 0 1 三 三 1 2 5 10 4 三 4 12 9 4 6 24 16 ∑x=10 ∑y=20 ∑x y=49 ∑x 2 = 30 我们现在使用a和b的最小二乘回归公式计算a和b。 a=（n∑x y-∑x∑y） 2 -（∑x） 2 ) = (5*49 - 10*20) / (5*30 - 10 2 ) = 0.9 b=（1/n）（∑y-a∑x）=（1/5）（20-0.9*10）=2.2 b） 既然我们有了最小二乘回归线y=0.9 x+2.2，那么用10替换x来求相应y的值。 y=0.9*10+2.2=11.2
a） 我们首先将变量x改为t，使t=x-2005，因此t表示2005年之后的年份数。 用t代替x可以使数字更小，因此可以管理。 值表变为。
t（2005年后） 0 1 2 三 4 y（销售额） 12 19 29 37 45 我们现在使用该表计算包含在最小回归线公式中的a和b。
t吨 年 t年 t吨 2 0 12 0 0 1 19 19 1 2 29 58 4 三 37 111 9 4 45 180 16 ∑x=10 ∑y=142 ∑xy=368 ∑x 2 = 30 我们现在使用a和b的最小二乘回归公式计算a和b。 a=（n∑t y-∑t∑y）/（nσt 2 -（∑t） 2 ) = (5*368 - 10*142) / (5*30 - 10 2 ) = 8.4 b=（1/n）（∑y-a∑x）=（1/5）（142-8.4*10）=11.6 b） 2012年，t=2012-2005=7 2012年预计销售额为：y=8.4*7+11.6=7040万美元。
