微积分中函数导数的求法

在微积分中使用不同的方法和规则来求各种函数的导数。给出了几个具有详细解决方案的示例。更多附有答案的练习在本页末尾。

示例1：求函数f的导数，由 示例1的解决方案：
函数f是两个函数的乘积：U=x²- 5和V=x^三-2 x+3; 因此 我们使用产品规则按如下方式区分f： 哪里U’和V’是的导数U型和V（V）分别由下式给出 替换以获得 扩展、分组和简化以获得

示例2：计算函数f的一阶导数
\[f（x）=（平方x+2x）（4x^2-1）\]
示例2的解决方案：
此函数可被视为函数U=√x+2x和V=4x的乘积²-1，因此使用乘积规则
\[f'（x）=U‘V+U‘V\\=（\dfrac{1}{2\sqrt x}+2）（4x^2-1）+（\sqrt x+2 x）（8x）\]要添加上述项，您需要将所有项都写为具有公共分母的分数。
\[f'（x）=\dfrac{（1+2\cdot2\sqrt x）（4x^2-1）+2\sqrt x（8x）（\sqrt x+2x）}{2\squart x}\]展开
\[f'（x）=\dfrac{4x^2-1+16x^{5/2}-4\sqrt x+16x*2+32x^{2/2}}{2\sqrt x}\]并分组以获得f导数的最终结果，如下所示。
\[f'（x）=\dfrac{48x^{5/2}+20x^2-4x^{1/2}-1}{2\sqrtx}\]

示例3：计算函数f的一阶导数

示例3的解决方案：
给定的函数可以被认为是两个函数的比值：U=x²+1和V=5x-3，并使用商法則区分f的方法如下
展开并分组以获得f'（x），如下所示

示例4：计算函数f的一阶导数

示例4的解决方案：
函数f是两个函数的商，因此使用了商规则
将所有项写在分子中，使它们具有相同的分母2平方x
展开并分组类似项以获得f'（x）

示例5：计算函数f的一阶导数

示例5的解决方案：
上述函数f可视为函数U=1/x-3和V=（x）的乘积²+3）/（2x-1），函数V可以被视为两个函数x的商²+3和2x-1。我们对f使用乘积规则，对V使用商规则，如下所示
将所有术语设置为公共分母
展开并分组以获得导数f'。

示例6：计算函数f的一阶导数

示例6的解决方案：
有几种方法可以求出上述函数f的导数。其中之一是将函数f视为函数U=sqrt x和V=（2x-1）（x）的乘积^三-x），并将V视为（2x-1）和（x）的乘积^三-x）并将乘积规则应用于f和V，如下所示
为所有项设置一个公约数
展开相似项并将其分组以获得导数f’。

示例7：求函数f的导数

实施例7的解决方案：
给定函数的形式为U⁴其中U=x^三+ 4. 使用微分链式法则给出f'如下
计算U’并将其替换为f’，如下所示

示例8：求函数f的导数

实施例8的解决方案：
函数f的形式为U^三其中U=（x-1）/（x+3）。应用链式规则获得f'，如下所示
使用商规则计算U’，并替换以获得
展开并分组类似项，以获得导数f'的最终形式

示例9：求函数f的导数

示例9的解决方案：
给定函数的形式为sqrt U，U=x^三+2 x+1。计算U’并使用链式法则获得

示例10：求函数f的导数

实施例10的解决方案：
给定函数的形式为U^3/2U=x²+ 5. 应用链式规则如下
计算U’，代入并简化以获得导数f’。

示例11：求函数f的导数

实施例11的解决方案：
函数f的形式为U^1/4U=（x+6）/（x+5）。使用链式规则计算f'，如下所示
由于U是两个函数的商，因此使用商规则找到U’并替换为
扩展和分组类似术语
将负指数更改为正指数，以找到f'的最终形式，如下所示

练习：求下列每个函数的导数。

以上练习的答案：